Fixpunktsatz von Lawvere

05.03.2024, 19:34	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunktsatz von Lawvere Vor einiger Zeit fing ich an, mit der Mengenlehre NBG/MK zu arbeiten, die den Umgang mit Klassen gewährt, da in ZFC lediglich Aussonderung verfügbar ist, was sich für mich beim Definieren als unergonomisch herausstellte. Mit der Zeit stoßen mir Klassen allerdings immer mehr auf. Zwar gewährt eine Mengenlehre mit Klassen, dass einige bislang für Mengen definierte Konzepte unverzüglich auf Klassen erweitert werden können. Der Umstand, dass eine echte Klasse kein Element einer anderen Klasse sein darf, bedingt aber eine Beschränkung dieses Vorgehens. Ich will die Problematik anhand der folgenden Idee herausstellen und eine allgemeine Erwägung aufzeigen, die man sich dazu als eleganten Ausweg überlegt hat. Zur Ordnung des Denkens betrachten wir den Fixpunktsatz von Lawvere (speziell für Mengen). Existiert eine Surjektion $\begin{eqnarray} X\to Y^X, \end{eqnarray}$ muss jede Abbildung $\begin{eqnarray} Y\to Y \end{eqnarray}$ mindestens einen Fixpunkt besitzen. Aus dem Satz folgt unmittelbar der Satz von Cantor. Setzt man $\begin{eqnarray} Y:=\{0,1\}, \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \varphi\colon Y\to Y \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \varphi(y):=1-y \end{eqnarray}$ eine Abbildung ohne Fixpunkt. Ergo existiert keine Surjektion $\begin{eqnarray} X\to \{0,1\}^X\cong\mathcal P(X), \end{eqnarray}$ womit $\begin{eqnarray} \|X\|\ne \|\mathcal P(X)\| \end{eqnarray}$ sein muss. Diese Vorgehensweise würden wir nun gern übertragen, um die russellsche Antinomie zu erhalten. Sei dazu $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ die Klasse aller Mengen und $\begin{eqnarray} f\colon U\to Y^U \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} Y:=\{\text{falsch},\text{wahr}\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x)(u) := (u\in x). \end{eqnarray}$ Es ordnet $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ jeder Menge $\begin{eqnarray} x\in U \end{eqnarray}$ ihr Prädikat $\begin{eqnarray} P=f(x) \end{eqnarray}$ zu, so dass $\begin{eqnarray} x = \{u\in U\mid P(u)\}. \end{eqnarray}$ Die Verneinung $\begin{eqnarray} \varphi\colon Y\to Y, \varphi(y):=\lnot y \end{eqnarray}$ besitzt aber keinen Fixpunkt, womit $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nicht surjektiv sein kann. Ergo existieren Prädikate, die keine Menge beschreiben. Allerdings verbleibt unklar, welcher Natur $\begin{eqnarray} Y^U \end{eqnarray}$ sein soll. Nämlich muss der Graph einer Abbildung $\begin{eqnarray} U\to Y \end{eqnarray}$ eine echte Klasse sein, da ihr Definitionsbereich bereits eine solche ist. Aber keine echte Klasse ist Element einer Klasse, womit $\begin{eqnarray} Y^U \end{eqnarray}$ keine Klasse sein kann. Wir bräuchten eine Mengenlehre, die Hyperklassen umfasst. Unter Umständen mögen Klassen aber entbehrlich sein. Zu einer als Limes-Ordinal betrachteten stark unerreichbaren Kardinalzahl $\begin{eqnarray} \kappa \end{eqnarray}$ wird dazu $\begin{eqnarray} U:=V_\kappa \end{eqnarray}$ als das Mengenuniversum festgelegt, wobei mit den $\begin{eqnarray} V_\alpha \end{eqnarray}$ die Mengen der Von-Neumann-Hierarchie gemeint sind. Es ist $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ selbst eine Menge, genauer ein Grothendieck-Universum, quasi die Menge aller Mengen. Wer unerreichbare Kardinalzahlen zu weit fortgeschritten findet, kann zur Übung zunächst $\begin{eqnarray} U:=V_\omega \end{eqnarray}$ zur ersten unendlichen Ordinalzahl $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ betrachten, das ebenfalls ein Grothendieck-Universum bildet. Da für Mengen $\begin{eqnarray} X,Y \end{eqnarray}$ bezüglich Kuratowski-Paaren der Sachverhalt $\begin{eqnarray} Y^X\in\mathcal P(\mathcal P(\mathcal P(\mathcal P(X\cup Y)))) \end{eqnarray}$ gilt, ergibt sich schlicht $\begin{eqnarray} Y^U\in V_{\kappa+4}. \end{eqnarray}$ Obgleich $\begin{eqnarray} Y^U \end{eqnarray}$ damit außerhalb des üblichen Universums liegt, handelt es sich trotzdem um eine Menge. Weiterhin tritt nun der absurde Umstand in Erscheinung, dass Komprehension mit $\begin{eqnarray} G:=U \end{eqnarray}$ quasi spezieller als Aussonderung $\begin{eqnarray} \{x\in G\mid P(x)\} \end{eqnarray}$ ist, bei der man die Grundmenge $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ frei wählen kann. Mithin gilt die russellsche Antinomie ein weiteres Mal als gezähmt. Sie sagt nun aus, dass es Teilmengen von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ gibt, die keine Elemente von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ sind. Elemente von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ nennt man $\begin{eqnarray} U\text{-klein}. \end{eqnarray}$ Den echten Klassen entsprechen somit die Mengen, die nicht $\begin{eqnarray} U\text{-klein} \end{eqnarray}$ sind.
06.03.2024, 09:56	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Es scheint, die Problematik tritt in der Kategorientheorie besonders häufig zutage. Mit Set theory for category theory, arXiv:0810.1279 diskutiert Michael Shulman sie recht ausführlich. Man erfährt unter anderem, $\begin{eqnarray} V_\kappa \end{eqnarray}$ ist ein Modell von ZFC, $\begin{eqnarray} V_{\kappa+1} = \mathcal P(V_\kappa) \end{eqnarray}$ ein Modell von MK, mithin von NBG, $\begin{eqnarray} \mathrm{Def}(V_\kappa) \end{eqnarray}$ ein Modell von NBG, aber nicht von MK.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »