Trilateration mit 4 Punkten

07.03.2024, 08:05	Noel.albert	Auf diesen Beitrag antworten »
Trilateration mit 4 Punkten Meine Frage: Hallo ich habe 4 Router. Router 1 A(0\|0) Router 2 B(1\|1) Router 3 C(0\|1) Router 4 D(1\|0). Die Entferung zu einem Router wird durch d bestimmt, für Router 1 d1, für Router 2 d2, für Router 3, d3, für Router 4 d4. Jetzt sucht die Kordinaten des Punktes P, der irgendwo in diesem Koordinatensystem liegen kann. Jetzt brauche ich eine Formel, um die Koordinaten des Punktes P zu bestimmen. Das soll ein Arduino Projekt werden, um ein Idoor Positionierungssytem über WLAN zu bauen. Lg Meine Ideen: Ich hatte überlegt, Schnittpunkte von diesen 4 Kreisen zu Bestimmen. Aus diesem Schnitppunkt könnte man dann die Koordinate berechnen.
07.03.2024, 08:34	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Bekannt sind die vier Entfernungen $\begin{eqnarray} d_1,d_2,d_3,d_4 \end{eqnarray}$ zu den gegebenen vier Punkten in der Ebene. Und zu bestimmen sind die Koordinaten des Punktes $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ . Eine Frage: $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ soll auch in derselben Ebene liegen? Man könnte diese Fragestellung ja durchaus auch im Raum betrachten, da wäre es allerdings günstiger, wenn die vier Router sich nicht alle in derselben Ebene befinden würden... Kurzum: Mit Pythagoras ergeben sich für $\begin{eqnarray} P(x,y,z) \end{eqnarray}$ folgende Bestimmungsgleichungen: $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 + z^2 = d_1^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x-1)^2 + (y-1)^2 + z^2 = d_2^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2 + (y-1)^2 + z^2 = d_3^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x-1)^2 + y^2 + z^2 = d_4^2 \end{eqnarray}$ Daraus folgt $\begin{eqnarray} d_1^2 + d_2^2 = d_3^2 + d_4^2 \end{eqnarray}$ , d.h. eine der vier Angaben ist redundant. (Allerdings könnte man diese Information auch über Fehlerrechnung zur Genauigkeitsverbesserung einbeziehen) Verzichten wir z.B. auf $\begin{eqnarray} d_2 \end{eqnarray}$ , so kommt man durch geeignete Differenzbildungen sofort zu $\begin{eqnarray} x = \frac{d_1^2-d_4^2+1}{2},~ y = \frac{d_1^2-d_3^2+1}{2},~ z = \pm \sqrt{d_1^2-x^2-y^2} \end{eqnarray}$ . Wenn du nur das ebene Problem betrachten willst, sollte natürlich $\begin{eqnarray} z=0 \end{eqnarray}$ bzw. "nahe Null" herauskommen. ------------------------------------------------------------------- Mit Methoden der Fehler- und Ausgleichsrechnung würde man für das ebene Problem so vorgehen: Gegeben: $\begin{eqnarray} n\geq 3 \end{eqnarray}$ Punkte $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ mit den Koordinaten $\begin{eqnarray} (x_k,y_k) \end{eqnarray}$ und den gemessenen (mit Messfehlern behafteten) Entfernungen $\begin{eqnarray} d_k=\|A_kP\| \end{eqnarray}$ zum gesuchten Punkt $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ . Gesucht: Koordinaten $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ Ansatz: Methode der kleinsten Quadrate, d.h. $\begin{eqnarray} Q(x,y) = \sum_{k=1}^n \left(\left(x-x_k\right)^2 + \left(y-y_k\right)^2 - d_k^2 \right)^2 \end{eqnarray}$ wird minimiert bzgl. $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ . Kann man z.B. mit Gradientenverfahren oder Newton numerisch lösen. Ausgangspunkt könnte dabei ein Punkt sein, der sich als Lösung eines Gleichungssystems basierend auf zwei der $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Punkte ergibt, unter Einbeziehung eines dritten Punkts für die Entscheidung zwischen den beiden Lösungen der dabei entstehenden quadratischen Gleichung. EDIT (11.3.): Hatte zu dem Teil Ausgleichsrechnung mal ein Python-Skript geschrieben. Aber anscheinend ist das Interesse seitens des Fragestellers erloschen.
17.03.2024, 12:23	DrummerS	Auf diesen Beitrag antworten »
Wer ohne Ableitungen arbeiten möchte, könnte ein Skript derart gestalten, dass x-Werte von Grenze zu Grenze im Intervall z.B. $\begin{eqnarray} \left[x_{1}-d_{1},x_{1}+d_{1}\right] \end{eqnarray}$ mit ausreichend kleiner Schrittweite "durchprobiert" werden. Je x-Wert sollte das von HAL 9000 vorgestellte Q(x,y) zweimal ausgerechnet werden, wegen hier $\begin{eqnarray} y \thickapprox \pm \sqrt{d_{1}^{2}-\left(x-x_{1}\right)^{2}} + y_{1} \end{eqnarray}$ . Wo Q(x,y) den kleinsten Wert annimmt, könnte die nähere Umgebung entsprechend den Genauigkeitsanforderungen weiter untersucht werden. Das von HAL 9000 beschriebene Vorgehen ist aber wahrscheinlich besser .

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »