Doppelpost! Größter gemeinsamer Teiler von Polynomen |
| 07.03.2024, 13:22 | Florence | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Größter gemeinsamer Teiler von Polynomen Sei m Element von Q[X] \ Q und R = Q[X]/mQ[X]. a) Zeigen Sie, dass für jedes fixe p aus Q[X] die Funktion Mp : R --> R mit Mp([q]) := [pq] eine lineare Abbildung ist. b) Zeigen Sie: für alle p Element Q[X] gilt gcd(p, m) = 1 genau dann, wenn ker Mp = {[0]}. c) Geben Sie für die spezielle Wahl m = X^3 - X + 1 und p = X^2 + 3X + 2 die Abbildungsmatrix von Mp bezüglich der geordneten Basis ([1], [X], [X2]) von R an. Mit den eckigen Klammern sind immer Äquivalenzklassen gemeint, ich finde das richtige Zeichen nicht. Meine Ideen: Bei a) fehlt mir nur noch, dass ich die Abgeschlossheit bei der Multiplikation beweise. Wie kann ich das machen? Bei b) fehlt mir leider total der Ansatz Und bei c) bin ich mir nicht ganz sicher, ob ich es richtig verstehe. Warum brauche ich da das m? |
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| 07.03.2024, 15:23 | Romaxx | Auf diesen Beitrag antworten » |
https://www.onlinemathe.de/forum/Polynome-ggT-lineare-Abbildung-Abbildungsmatrix |
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| 07.03.2024, 17:36 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
a) Q[X] ist ein Polynomring, mQ[X] ein Hauptideal, R=Q[X]/mQ[X] der Restklassenring modulo m. R ist ein Q-Vektorraum (Beweis?) und Mp ist eine Q-lineare Abbildung (Beweis?) b) Beide Richtungen beweisen. c) Warum ist [1],[X],[X²] eine Basis von R ? m wird nach a) zur Definition von R gebraucht, und p wird für die lineare Abbildung Mp gebraucht. Jetzt muss du nur noch die Bilder der Basisvektoren berechnen und in die Spalten der Matrix schreiben (so wie immer bei linearen Abbildungen) |
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