Termzusammenfassung

07.03.2024, 15:28

D4NZOGA

Termzusammenfassung

Moin liebe Forumsgemeinde,

ich melde mich mal wieder, mit einer für euch wahrscheinlich leichten Kost, aber ich grüble mal wieder seit Stunden an einer Termzusammenfassung.

Wie kommt dieser Zusammenfassungsschritt zustande?

$\begin{eqnarray*} h = \sqrt{2r²- r²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h = \sqrt{3r²} \end{eqnarray*}$

Welches Wissen ist meinem Schweizer Käsehirn da entronnen, um das zu verstehen? Big Laugh

Meine sieht folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} h = \sqrt{2r²- r²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h = 2 * \sqrt{(1+ r)} \end{eqnarray*}$

Im Laufe der weiteren Rechnungen mit diesem Term für die Höhe h scheinen beide gleichwertig zu sein, aber die schmalere Zusammenfassung macht den Term den man am Ende damit konstruiert deutlich schlanker.

Vergleich „Endterme“:

Mit Zusammenfassung 1:

$\begin{eqnarray*} A = r² * \sqrt{3} - (\frac{pi}{2}) \end{eqnarray*}$

Mit meiner Zusammenfassung:

$\begin{eqnarray*} A = \frac{(4r \sqrt{1+r} - (pi * r^2))}{2} \end{eqnarray*}$

Würde meine Darstellung eventuell zu einem Punkteabzug in einer Klausur führen, aufgrund mangelhafter Zusammenfassung im vorherigen Schritt?

Liebe Grüße!

07.03.2024, 15:37

willyengland

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$\begin{eqnarray*} h = \sqrt{2r^2-r^2} \neq \sqrt{3r^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h = \sqrt{2r^2-r^2} =r \end{eqnarray*}$

Des weiteren ist:

$\begin{eqnarray*} h = 2 * \sqrt{(1+r)} = \sqrt{4+4r} \neq \sqrt{2r^2-r^2} \end{eqnarray*}$

Vermutlich meinst du aber irgendwas anderes?

07.03.2024, 15:40

HAL 9000

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@D4NZOGA

Da biete ich noch eine dritte Variante an:

$\begin{eqnarray*} h = \sqrt{2r^2- r^2} = \sqrt{r^2} = r \end{eqnarray*}$ , letzteres zumindest, falls man $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ annehmen darf (wovon ich ausgehe).

Im Ernst: Bist du dir sicher, dass du alle Terme richtig wiedergegeben hast, inklusive Exponenten und evtl. Klammern?

Z.B. würde $\begin{eqnarray*} \sqrt{2r^2 - \left(-r^2\right)} = \sqrt{2r^2 + r^2} = \sqrt{3r^2} \end{eqnarray*}$ Sinn ergeben. Oder vielleicht auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{2r^2 + \left(-r\right)^2} = \sqrt{3r^2} \end{eqnarray*}$ ? Beides wäre richtig.

Wie du jedoch zur Umformung $\begin{eqnarray*} \sqrt{2r^2-r^2} \stackrel{?}{=} 2\cdot \sqrt{(1+r)} \end{eqnarray*}$ kommst, kann ich beim besten Willen nicht nachvollziehen. Erstaunt1

07.03.2024, 16:03

D4NZOGA

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Erstmal wie immer, danke für die schnellen Antworten!

Ich habe wohl Klammern vergessen LOL Hammer

@willy wahrscheinlich wird mit den Klammern dann ein Schuh draus oder?

@HAL9000 auf meine Umformung bin ich folgendermaßen gekommen (Mit den vergessenen Klammern)

Hintergrund: 2 * r ist die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks zu dem, eine der Katheten die Länge r hat. Die übrige Kathete (Für das „größere“ Dreieck die höhe h) wollte ich dann so konstruieren:

a² + b² = c² -> h² + r² = (2 * r)²

Zu meiner Umformung und der vergessenen Klammer um (2*r) zurück:

$\begin{eqnarray*} h = \sqrt{(2*r)² - r²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h= \sqrt{(2*r) * (2*r) -r² = 4 + 4r + r² -r² = 4(1+r)} \end{eqnarray*}$

-> 4 Aus der Wurzel ziehen

$\begin{eqnarray*} h= 2* \sqrt{(1+r)} \end{eqnarray*}$

Aber wahrscheinlich macht mit der Klammer auch die erste Zusammenfassung Sinn oder? Also die, die ich nicht verstehe Big Laugh

07.03.2024, 16:05

D4NZOGA

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Hier mal das konstruierte Bild zur Veranschaulichung dazu

07.03.2024, 16:09

HAL 9000

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Ah, an die Variante hatte ich nicht gedacht... Gemäß Potenzregeln ist $\begin{eqnarray*} (2\cdot r)^2 = 2^2\cdot r^2 = 4\cdot r^2 \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} 4\cdot r^2 - r^2 = 4\cdot r^2 - 1\cdot r^2 = \left(4-1\right)\cdot r^2 = 3r^2 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von D4NZOGA
$\begin{eqnarray*} h= \sqrt{(2*r) * (2*r) -r² {\color{red}\stackrel{???}{=}} 4 + 4r + r² -r² = 4(1+r)} \end{eqnarray*}$

Allem Anschein nach hast du $\begin{eqnarray*} (2{\color{red}+}r)\cdot (2{\color{red}+}r) \end{eqnarray*}$ gerechnet. Auf sowas schräges muss man erstmal kommen. Finger1

07.03.2024, 16:40

D4NZOGA

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Ach super - so kommt die Umformung zu 3r² zustande!

Ja, da habe ich wohl eine Potenzregel missachtet. Hammer

Ich merke gerade, dass mich eines auch sehr verwirrt hat:

Bei Einsetzen von 2 für die variable r (zur Probe) in die beiden Endterme, habe ich bei einer bestimmten Art der Eingabe für den korrekten Term das gleiche Ergebnis wie für meinen nicht korrekten. Daher war ich davon ausgegangen das stimmt soweit, meine Umformung wäre nur nicht so „schick“.

Ich habe es folgendermaßen „versucht“ zu Testen:

Einsetzen r = 2 in

$\begin{eqnarray*} A = \frac{4r*\sqrt{(1+2)} - (pi *r²)}{2} \end{eqnarray*}$ = 0,64501…

Einsetzen r = 2 in

$\begin{eqnarray*} A = r² *( \sqrt{3} - \frac{pi}{2} ) \end{eqnarray*}$ = 0,64501…

ich habe in der Hektik, es mal nur so eben schnell Gegentesten zu wollen, die richtige Formel falsch in den Taschenrechner eingegebenen. Aber verrückt, dass dann das selbe Ergebnis dabei raus kommt wie bei meinem kompletten durcheinander, inklusive dem, in meinem Term eingebauten, komplett falschen 2*Wurzel(2+1)

Musste gerade mal den Verlauf des Taschenrechners durchforsten um zu schauen wie zum Henker ich denn auf das gleiche Ergebnis als Probe gekommen bin Big Laugh

07.03.2024, 17:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von D4NZOGA
Bei Einsetzen von 2 für die variable r (zur Probe)

Nach Murphy's Gesetz ist r=2 die perfekte Wahl, um einen Fehler "2+r statt 2*r" in der Probe aufzudecken. ROFL

07.03.2024, 17:20

D4NZOGA

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Meine Verwirrung nimmt kein Ende. Anscheinend habe ich den Term doch nicht falsch eingegeben verwirrt

Von vorne:

Der Term für die Höhe h steht:

h = r * Wurzel(3)

Jetzt soll daraus der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet werden mit g = 2*r

A = (g*h)/2

A = ((2*r) * (r*Wurzel(3)) / 2

A = r² * Wurzel(3)

Richtig soweit?

Jetzt soll der Flächeninhalt eines Halbkreises davon abgezogen werden:

r² * Wurzel(3) - (r² *(pi/2) = r² * (Wurzel(3) - pi/2)

richtig? Wenn ja dann ergibt meine Fantasieformel tatsächlich das gleiche bei Einsetzen von r = 2

07.03.2024, 17:21

D4NZOGA

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Alles klar @HAL9000 Hammer

die Antwort sehe ich jetzt erst. Dann mach ich die Probe mal nicht mit der 2. vielen Dank Big Laugh

Wie bescheuert man sich aber auch selber, immer tiefer in das Loch der Verwirrung graben kann Big Laugh

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