Primfaktorzerlegung aufeinanderfolgender, ungerader Tripel

07.03.2024, 15:00

Romaxx

Primfaktorzerlegung aufeinanderfolgender, ungerader Tripel

Hallo zusammen,

liege ich richtig mit der Vermutung, dass drei aufeinanderfolgende ungerade natürliche Zahlen, also:

$\begin{eqnarray*} (n,n+2,n+4), n\in\mathbb N\;\text{ungerade} \end{eqnarray*}$ ,

paarweise keine gemeinsamen Primfaktoren besitzen können? Als Beweis würde ich die Formel:

$\begin{eqnarray*} \text{ggT}(a,b)=\text{ggT}\left(a,\frac{b-a}{2}\right),\; b>a \end{eqnarray*}$

heranziehen.

EDIT: paarweise ergänzt

07.03.2024, 16:04

HAL 9000

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Keine gemeinsamen Primfaktoren trifft bereits auf $\begin{eqnarray*} (n,n+2) \end{eqnarray*}$ zu, und damit erst recht wenn man noch eine dritte Zahl wie z.B. $\begin{eqnarray*} n+4 \end{eqnarray*}$ hinzunimmt.

Ich vermute mal, du willst aber mehr sagen, nämlich dass die drei Zahlen auch paarweise teilerfremd sind - was auch stimmt:

ggT(n,n+2) = ggT(n,n+2-n) = ggT(n,2) = 1
ggT(n,n+4) = ggT(n,n+4-n) = ggT(n,4) = 1
ggT(n+2,n+4) = ggT(n+2,n+4-n-2) = ggT(n+2,2) = 1

07.03.2024, 16:26

Romaxx

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Zitat:

Original von HAL 9000
Keine gemeinsamen Primfaktoren trifft bereits auf $\begin{eqnarray*} (n,n+2) \end{eqnarray*}$ zu, und damit erst recht wenn man noch eine dritte Zahl wie z.B. $\begin{eqnarray*} n+4 \end{eqnarray*}$ hinzunimmt.

Das hatte ich bereits gefunden, ja.

Zitat:

Original von HAL 9000
Ich vermute mal, du willst aber mehr sagen, nämlich dass die drei Zahlen auch paarweise teilerfremd sind - was auch stimmt:

ggT(n,n+2) = ggT(n,n+2-n) = ggT(n,2) = 1
ggT(n,n+4) = ggT(n,n+4-n) = ggT(n,4) = 1
ggT(n+2,n+4) = ggT(n+2,n+4-n-2) = ggT(n+2,2) = 1

Ganz genau, danke.

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