Term ausrechnen ohne TR

08.03.2024, 18:38

Galotti

Term ausrechnen ohne TR

Meine Frage:
Hallo,

folgenden Term soll ich berechnen (ohne Taschenrechner):

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\dfrac{1 + 500^4 + 501^4}{2}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich bin nicht weit gekommen, aber zunächst habe ich die 5 aus dem Wurzelterm faktorisiert:
$\begin{eqnarray*} = 25 \cdot \sqrt{\dfrac{1 + 100^4 + 101^4}{2}} \end{eqnarray*}$ .

Na immerhin brachte dies mich auf die Idee, dass die Formel unter der Wurzel eine Quadratzahl hervorbringt, also
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\dfrac{1 + n^4 + (n+1)^4}{2}} \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Einige Testrechnungen mit n=1,2,3 scheinen meine Annahme zu bestätigen. Aber ich komme auf keine vernünftige Umformung um die oben gestellte Aufgabe ohne Taschenrechner zu lösen. Vermutlich soll man eine Umformung erhalten, wo man die Lösung einfach ablesen kann wie $\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2} \end{eqnarray*}$

08.03.2024, 18:49

nichteuerernst

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RE: Term ausrechnen ohne TR

Zitat:

aber zunächst habe ich die 5 aus dem Wurzelterm faktorisiert:

Das ist völliger Unfug. Du hast den Faktor aus 501 nicht richtig und aus dem ersten Summanden 1 gar nicht herausgezogen.

Deine zweite Umformung (allerdings bezogen auf den Originalterm und nicht auf deine fehlerhafte Umformung desselben) ist schon vielversprechender.

Im Zähler des Bruchs unter der Wurzel steht dann $\begin{eqnarray*} 1+n^4 + (n^4 + 4n^3 + 6n^2 +4n +1) \end{eqnarray*}$ , was du mal zusammenfassen und danach durch die 2 im Nenner des Bruchs teilen solltest.

08.03.2024, 19:30

Galotti

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Oh ja Mist, beim Faktorisieren hab ich alles falsch gemacht lol

Ok, also ich fasse zusammen, dividiere durch den Nenne und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^4 + 2n^3 +3n^2 + 2n +1} \end{eqnarray*}$

08.03.2024, 19:35

HAL 9000

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Richtig - und $\begin{eqnarray*} n^4+2n^3+3n^2+2n+1 \end{eqnarray*}$ ist tatsächlich ein vollständiges Quadrat. Da muss man gar nicht soviel raten von welchem Term, das kriegt man mit ein wenig Überlegung auch systematisch hin. Augenzwinkern

09.03.2024, 18:44

Galotti

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Also ich bin wohl etwas stumpfsinnig. Das "beste", was ich herausbekomme sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} n^4 +2n^3 +3n^2+2n +1 =n^4 +2n^3+2n^2 +(n+1)^2 =n^2(n^2 + 2n+2) +(n+1)^2 = n^2 \cdot (n+1)^2 +n^2 +(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

unglücklich

09.03.2024, 18:50

Leopold

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$\begin{align*} n^4 + 2n^3 +3n^2 + 2n + 1 = n^4 + n^2 + 1 + 2n^3 + 2n^2 + 2n \end{align*}$

In der letzten Summe sind die ersten drei Summanden die quadratischen Glieder und die letzten drei Summanden die gemischten Glieder eines Trinoms.

09.03.2024, 19:08

Galotti

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$\begin{eqnarray*} (n^2 + n + 1)^2 \end{eqnarray*}$

Oh mein Gott, auf ein Trinom wäre ich wohl nie gekommen. Hatte einen Tunnelblick auf ein Binom.

Da brauch ich wohl noch viel Übung um sowas besser zu sehen.

Vielen Dank

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