Exakte DGL

09.03.2024, 17:07	Fragezeichen2	Auf diesen Beitrag antworten »
Exakte DGL Meine Frage: Es soll überprüft werden, ob folgende DGL exakt ist: $\begin{eqnarray} (2xy ln(y))+(x^{2}-2ln(y))y'(x)=0 \end{eqnarray}$ Falls das nicht der Fall ist, soll ein integrierender Faktor gefunden werden. Meine Ideen: 1) Überprüfe, ob DGL exakt ist: $\begin{eqnarray} f(x,y)=2xy ln(y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{y}(x,y)=2xln(y)+\frac{1}{y}2xy = 2x(ln(y)+1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(x,y)=x^{2}-2ln(y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_{x}(x,y)=2x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{y}(x,y)\neq g_{x}(x,y)\Rightarrow \end{eqnarray}$ DGL ist nicht exakt 2) Berechnung des integrierenden Faktors: $\begin{eqnarray} \mu_{y}2xyln(y)+\mu2x(ln(y)+1)=\mu2x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mu_{y}=\frac{\mu2x-\mu2x(ln(y)+1)}{2xyln(y)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mu_{y}=-\mu\frac{1}{y} \end{eqnarray}$ Trennung der Veränderlichen: $\begin{eqnarray} \mu_{y}=-\mu\frac{1}{y} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(y)= \int_{}^{} \! \frac{1}{y} \, dy = ln(y)+c_{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H(\mu)= \int_{}^{} \! \frac{1}{(-1)} \, d\mu = -\mu+c_{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\mu+c_{2}=ln(y)+c_{1} \|-c_{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\mu=ln(y)+c_{1}-c_{2}\|(-1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mu=-ln(y)+\underbrace{c_{2}-c_{1}}_{c_{3}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mu(y)=-ln(y)+c_{3} \end{eqnarray}$ Der integrierende Faktor $\begin{eqnarray} \mu(y) \end{eqnarray}$ wäre somit $\begin{eqnarray} -ln(y)+c_{3} \end{eqnarray}$ . Jedoch sollte dieser laut Lösung $\begin{eqnarray} \mu(y)=\frac{1}{y} \end{eqnarray}$ sein. Was habe ich falsch gemacht? Ich finde den Fehler nicht. Vielen Dank im Voraus!
09.03.2024, 17:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein $\begin{align} H(\mu) \end{align}$ stimmt nicht. Richtig wäre $\begin{align} H(\mu) = - \int \frac{\dd \mu}{\mu} \end{align}$ .

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