Gleichung beweisen mit arcsin, arcos

11.03.2024, 08:57

123987

Gleichung beweisen mit arcsin, arcos

Meine Frage:
Hey,

ich möchte eine einfache Gleichung lösen, hab aber wenig Erfahrung mit den Umkehrfunktionen von cos und sin i.e. Additionstheoreme u.Ä. sind mir unbekannt.

z.z.:
$\begin{eqnarray*} \arcsin(x) + \arcsin(x)=\frac \pi 2 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Setze $\begin{eqnarray*} \sin y:= x \Rightarrow y = \arcsin x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x := \cos y = \sin( \frac \pi 2 - y) \Rightarrow \frac \pi 2 - y = \arcsin(x) \end{eqnarray*}$

und daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} \arcsin x + \arccos x = y + \frac \pi 2 - y = \frac \pi 2 \end{eqnarray*}$

11.03.2024, 09:04

123987

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gleichung beweisen mit arcsin, arcos
Korrektur:
zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \arcsin x + \arccos x = \frac \pi 2 \end{eqnarray*}$

11.03.2024, 09:11

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gleichung beweisen mit arcsin, arcos
1) Die Behauptung soll anscheinend $\begin{eqnarray*} \arcsin x + \arccos x = \frac \pi 2 \end{eqnarray*}$ lauten, statt des von dir hingeschriebenen $\begin{eqnarray*} \arcsin x + \arcsin x \stackrel{?}{=} \frac \pi 2 \end{eqnarray*}$

2) Es wirkt ziemlich unglücklich, in ein- und derselben Beweiszeile ein $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ zweimal zu definieren, und danach mit diesem $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ weiter zu operieren: Woher weiß man, dass diese beiden definierten $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auch tatsächlich dieselben sind? Sie sind es auch nicht:

Zugleich $\begin{eqnarray*} x=\sin y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=\cos y \end{eqnarray*}$ klappt nur in wenigen Spezialfällen.

EDIT: Du hast zwar 1) inzwischen selbst gesehen, aber es macht dennoch den Eindruck, als war das in 1) mehr als nur ein Schreibfehler, sondern hat tief in diesen dann falschen Beweis hineingewirkt. verwirrt

11.03.2024, 11:25

123987

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gleichung beweisen mit arcsin, arcos
Ok, neuer Versuch

definiere $\begin{eqnarray*} y_1 := \arcsin x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_2 := \arccos x \end{eqnarray*}$
Dann folgt $\begin{eqnarray*} x = \cos y_2 = \sin \left(\frac \pi 2 - y_2\right) \end{eqnarray*}$ . Damit ergibt sich $\begin{eqnarray*} \arcsin x =\left(\frac \pi 2 - y_2\right) \end{eqnarray*}$ .

Dies setzen wir ein in die linke Seite der zu zeigenden Gleichung:
$\begin{eqnarray*} \arcsin x + \arccos x = \frac \pi 2 - y_2 - y_2 = \frac \pi 2 \end{eqnarray*}$

11.03.2024, 11:49

123987

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gleichung beweisen mit arcsin, arcos
das zweite minus soll ein plus sein ....

11.03.2024, 13:15

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von 123987
Dann folgt $\begin{eqnarray*} x = \cos y_2 = \sin \left(\frac \pi 2 - y_2\right) \end{eqnarray*}$ . Damit ergibt sich $\begin{eqnarray*} \arcsin x =\left(\frac \pi 2 - y_2\right) \end{eqnarray*}$ .

Der letzte Teil geht mir ein wenig zu schnell. Nehmen wir mal an, ich argumentiere abweichend so:

Zitat:

Dann folgt $\begin{eqnarray*} x = \cos y_2 = \sin \left(y_2 + \frac \pi 2\right) \end{eqnarray*}$ . Damit ergibt sich $\begin{eqnarray*} \arcsin x = y_2 + \frac \pi 2 \end{eqnarray*}$ .

Warum ist das falsch und deins richtig? Dazu fehlen mir noch ein paar Argumente. Augenzwinkern

11.03.2024, 13:45

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse 1.
Die Kathete der Länge $\begin{align*} x \end{align*}$ liege dem Winkel $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ gegenüber und am Winkel $\begin{align*} \psi \end{align*}$ an.

$\begin{align*} \sin(\varphi) = x \end{align*}$
$\begin{align*} \varphi = \arcsin(x) \end{align*}$

$\begin{align*} \cos(\psi) = x \end{align*}$
$\begin{align*} \psi = \arccos(x) \end{align*}$

Und $\begin{align*} \varphi + \psi \end{align*}$ ?

Für positive Werte $\begin{align*} x \end{align*}$ macht diese elementargeometrische Betrachtung die zu beweisende Beziehung unmittelbar einsichtig.

11.03.2024, 16:21

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es. Allerdings nehme ich an, dass 123987 den gesamten Bereich $\begin{eqnarray*} x\in [-1,1] \end{eqnarray*}$ im Beweis erfassen will.

11.03.2024, 22:47

123987

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Arkussinus bildet maximal auf $\begin{eqnarray*} \frac \pi 2 \end{eqnarray*}$ ab, weshalb für $\begin{eqnarray*} y_2 > 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \arcsin x = y_2 + \frac \pi 2 \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist.

12.03.2024, 06:09

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Allerdings nehme ich an, dass 123987 den gesamten Bereich $\begin{eqnarray*} x\in [-1,1] \end{eqnarray*}$ im Beweis erfassen will.

Man könnte eine Fallunterscheidung durchführen. Für $\begin{align*} x>0 \end{align*}$ ist die Sache mit der Betrachtung am rechtwinkligen Dreieck erledigt.

Sei nun $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ . Dann führt man diesen Fall auf den vorigen zurück:

$\begin{align*} \arcsin(x) + \arccos(x) = - \arcsin(-x) + \left( \pi - \arccos(-x) \right) = \pi - \left( \arcsin(-x) + \arccos(-x) \right) = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \end{align*}$

Die hier verwendeten Umformungen für die Vorzeichenänderung entspringen einfachen Symmetriebetrachtungen am Einheitskreis.

Alternativ könnte man auch die Funktion $\begin{align*} f(x) = \arcsin(x) + \arccos(x) \end{align*}$ differenzieren. Das wirkt allerdings etwas arg angestrengt, um diese elementare Beziehung herzuleiten.

12.03.2024, 07:57

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Definiert sind die Terme schon, aber die Gleichung ist mit $\begin{eqnarray*} y_2>0 \end{eqnarray*}$ nicht erfüllbar, richtig. Damit ist gezeigt, dass meine Argumentation falsch war.

Was ist dann aber zu ergänzen, damit deine Argumentation

Zitat:

wasserdicht wird?

Nun für $\begin{eqnarray*} y_2=\arccos(x) \end{eqnarray*}$ gilt laut Arkuskosinus-Wertebereich $\begin{eqnarray*} y_2\in [0,\pi] \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} \frac \pi 2 - y_2 \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray*}$ . Da das nun genau derjenige eingeschränkte Definitionsbereich der Sinusfunktion ist, auf dem sie umkehrbar ist mit Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} \arcsin \end{eqnarray*}$ , folgt daraus nun wirklich eben jenes $\begin{eqnarray*} \arcsin(x) = \frac \pi 2 - y_2 \end{eqnarray*}$ .

Kurzum: Man sollte aus $\begin{eqnarray*} x=\sin(z) \end{eqnarray*}$ nur dann $\begin{eqnarray*} z=\arcsin(x) \end{eqnarray*}$ folgern, wenn gesichert $\begin{eqnarray*} z\in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray*}$ gilt - allgemein folgt nämlich erstmal nur, dass es dann eine ganze Zahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} z = \arcsin(x) + 2k\pi \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} z = -\arcsin(x) + (2k+1)\pi \end{eqnarray*}$

gibt, was sich aus Periodizität und Symmetrie der Sinusfunktion ergibt.

12.03.2024, 09:06

123987

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich verstanden, danke.

Neue Frage »

Antworten »

Gleichung beweisen mit arcsin, arcos

Verwandte Themen