Wachstum von Potenzen

12.03.2024, 19:42

Evelyn2003

Wachstum von Potenzen

Ich bin mir bei dieser Abschätzung unsicher ob es stimmt. Wenn ich jetzt in der vorletzten Zeile die -1 weglasse, muss ich dann die +1 auf der anderen Seite dazu addieren $\begin{eqnarray*} 1+nx > k \end{eqnarray*}$ Oder stimmt das so wie ich es hingeschrieben habe? Es bezieht sich auf dem Beweis Satz 3.3 unterer Abschnitt Teil a) im Screenshot zu sehen.

$\begin{eqnarray*} b^n = (1+x)^n \geq 1 + nx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b^n = (1+x)^n > nx > k-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b^n = (1+x)^n > nx \geq k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b^n > k \end{eqnarray*}$

Meine zweite Frage wäre im Teil b) steht das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{b} > 1 \end{eqnarray*}$ .
Allerdings ist $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ nach dem Satz 3.3 eine positiv reelle Zahl. Wenn $\begin{eqnarray*} b=2 \end{eqnarray*}$
dann würde das ja bedeuten das $\begin{eqnarray*} 1/2 > 1 \end{eqnarray*}$ was ja nicht stimmen kann?

13.03.2024, 06:42

Oberlin

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Guten Morgen,

x ist eine positive reelle Zahl, nimm zum Beispiel x = 1.01 . Dann sagt einer K - 1 = 5 und du sollst nun eine natürliche Zahl n finden, sodass n*x > K - 1 . Also wählen wir n = 5 : $\begin{eqnarray*} n\cdot x = 5 \cdot 1,01 = 5,05 > K - 1 =6 - 1= 5 \end{eqnarray*}$
Wie man aus der letzten Ungleichung sieht, kannst du nun nicht einfach -1 wegnehmen und $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ , weil 6 echt größer ist als 5,05 .

Zu deiner zweiten Frage: b kann nicht 2 sein, weil bei b) noch die Einschränkung gemacht wird $\begin{eqnarray*} 0 < b < 1 \end{eqnarray*}$

13.03.2024, 14:55

Evelyn2003

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Es kann aber wiederum auch sein das $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k-1=5 \end{eqnarray*}$ , und wir würden somit $\begin{eqnarray*} n=5 \end{eqnarray*}$ wählen.

$\begin{eqnarray*} n \cdot x = 5 \cdot 1 = 5 \geq K - 1 = 6 - 1 = 5 \end{eqnarray*}$

?

Und zur b)

$\begin{eqnarray*} b^ > K \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} K:= \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b^n > \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$

wieso ist $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{b})^n > \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$

?

13.03.2024, 21:28

Romaxx

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@Evelyn2003

Das Beispiel von Oberlin zeigt, dass du die -1 nicht weglassen kannst.
Auch in deinem Beispiel kannst du die -1 bei 6 - 1 nicht weglassen, denn sonst steht dort $\begin{eqnarray*} 5\geq 6 \end{eqnarray*}$ .

Denke nicht zu kompliziert, sondern wende die Voraussetzungen an, um ans Ziel zu kommen:

Das archimedische Prinzip sagt (unterstrichene Aussage), dass für ein $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} nx>K-1 \end{eqnarray*}$ .

Deshalb kann ich für dieses $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Bernoullische Ungleichung weiter nach unten abschätzen:

$\begin{eqnarray*} b^n=(1+x)^n\geq 1+ nx>1+ K -1= 1-1+K=K \end{eqnarray*}$

Insgesamt steht von links nach rechts gelesen

$\begin{eqnarray*} b^n>K \end{eqnarray*}$ ,

was zu zeigen war.

Zu b) Wo steht $\begin{eqnarray*} b>K \end{eqnarray*}$ oder wie kommst du da drauf?

Weiterhin, wenn du $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ ersetzt, wie kommt dann $\begin{eqnarray*} b^n>\frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ raus?

Und weiter geht's, deine letzte Ungleichung ist einfach Teil a) angewendet auf $\begin{eqnarray*} b'=\frac{1}{b} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K=\frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ . Es ist etwas unglücklich, dass du für ein $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , welches nun kleiner als 1 und größer als 0 ist, Teil a) anwenden sollst. Aus diesem Grund habe ich $\begin{eqnarray*} b' \end{eqnarray*}$ gewählt, für das eben die Bedingung von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ aus a) gilt, nämlich $\begin{eqnarray*} b'>1 \end{eqnarray*}$ .

15.03.2024, 18:53

Evelyn2003

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Zitat:

Original von Romaxx
@Evelyn2003

.

Jetzt habe ich es begriffen. Ich danke euch beiden vielmals!

Wärt ihr bitte so freundlich mir vielleicht auch bei dem folgenden Beweis zu
erklären warum für $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a| < 1 \end{eqnarray*}$ ist?

15.03.2024, 21:05

Romaxx

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Es wird ein Widerspruchsbeweis geführt.

Angenommen $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ist konvergent gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .
Dann gibt es zu $\begin{eqnarray*} \epsilon=1 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit:

$\begin{eqnarray*} |a_n-a|< 1 \end{eqnarray*}$ , für alle $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ .

Nun, was für $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ gilt, gilt auch für $\begin{eqnarray*} n'=n+1>n\geq N \end{eqnarray*}$ , also:

$\begin{eqnarray*} |a_{n'}-a|=|a_{n+1}-a|< 1 \end{eqnarray*}$ , für alle $\begin{eqnarray*} n'>N \end{eqnarray*}$ .

16.03.2024, 19:25

Evelyn2003

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Zitat:

Original von Romaxx

Ich danke dir nochmals, Romaxx! Wink

Das war wirklich einleuchtend! Du kannst es so wie es aussieht wunderbar erklären! smile

Kannst du mir bitte auch bei der folgenden Beweis behilflich sein?

Bei dem Satz 4.1 begreife ich nicht wieso - statt echt kleiner, größer gleich steht?

$\begin{eqnarray*} |a|+|a_{n}-a| \leq |a|+1 \end{eqnarray*}$

und weshalb kleiner gleich $\begin{eqnarray*} |a_n| \leq |a|+|a_n - a| \end{eqnarray*}$ ?

Wegen der Dreiecksungleichung?
$\begin{eqnarray*} |a_n|=|a_n + a - a|= |a+a_n - a| \leq |a|+|a_n - a| \end{eqnarray*}$

Des Weiteren wieso man bei der Definition von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , innerhalb der max Klammer $\begin{eqnarray*} |a| +1 \end{eqnarray*}$ gewählt hat?

16.03.2024, 20:46

Romaxx

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Zitat:

Original von Evelyn2003
Bei dem Satz 4.1 begreife ich nicht wieso - statt echt kleiner, größer gleich steht?

$\begin{eqnarray*} |a|+|a_{n}-a| \leq |a|+1 \end{eqnarray*}$

Du meinst "statt echt kleiner, kleiner gleich steht".
Du hast hier recht, es müsste kleiner dastehen.

Also $\begin{eqnarray*} |a|+|a_{n}-a| < |a|+1 \end{eqnarray*}$ .

Du könntest aber auch die erste Ungleichung im Beweis abändern zu

$\begin{eqnarray*} |a_n-a|\leq 1 \end{eqnarray*}$ , für alle $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Evelyn2003
und weshalb kleiner gleich $\begin{eqnarray*} |a_n| \leq |a|+|a_n - a| \end{eqnarray*}$ ?

Wegen der Dreiecksungleichung?
$\begin{eqnarray*} |a_n|=|a_n + a - a|= |a+a_n - a| \leq |a|+|a_n - a| \end{eqnarray*}$

Ganz genau.

Zitat:

Original von Evelyn2003
Des Weiteren wieso man bei der Definition von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , innerhalb der max Klammer $\begin{eqnarray*} |a| +1 \end{eqnarray*}$ gewählt hat?

Weil wir neben den ersten $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Folgengliedern auch die für $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ betrachten müssen, und diese sind wegen der Ungleichungskette

$\begin{eqnarray*} |a_n|\leq |a| + |a_n -a|<|a|+1 \end{eqnarray*}$

alle kleiner als $\begin{eqnarray*} |a|+1 \end{eqnarray*}$ . Hier geht es ja um Beschränktheit.

18.03.2024, 16:49

Evelyn2003

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Zitat:

Original von Romaxx
Weil wir neben den ersten $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Folgengliedern auch die für $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ betrachten müssen, und diese sind wegen der Ungleichungskette

$\begin{eqnarray*} |a_n|\leq |a| + |a_n -a|<|a|+1 \end{eqnarray*}$

alle kleiner als $\begin{eqnarray*} |a|+1 \end{eqnarray*}$ . Hier geht es ja um Beschränktheit.

Nochmals dankeschön, Romaxx! Kannst du mir bei dem letzten Punkt evtl. ein Beispiel mit der Nullfolge machen?

$\begin{eqnarray*} |a_n|=|\frac{1}{n}|=(|\frac{1}{1}|, |\frac{1}{2}|, |\frac{1}{3}|, |\frac{1}{4}|, |\frac{1}{5}|, |\frac{1}{6}|, |\frac{1}{7}|) = (|a_0|, |a_1|, |a_2|, |a_3|, |a_4|, |a_5|, |a_7-1|, |a_7| \end{eqnarray*}$

18.03.2024, 21:05

Romaxx

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Na gut, obwohl ich ehrlich gesagt nicht weiss, wo es bei dir hier hängt:

Für $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ wissen wir, ist der Grenzwert $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ und ich ersetze hier $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ auch, hoffentlich dem besseren Verständnis zu Liebe.

Da diese Folge konvergent ist, existiert ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ sodass gilt

$\begin{eqnarray*} |a_n -a|=|\frac{1}{n}-0|=\frac{1}{n}<\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ .

Achtung, ich habe anstelle $\begin{eqnarray*} <1 \end{eqnarray*}$ hier $\begin{eqnarray*} <\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ gewählt, damit das $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ nicht trivial ist. Gelten muss es auch dafür, denn dies ist unser $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ . Das $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist hier $\begin{eqnarray*} N=6 \end{eqnarray*}$ , denn für $\begin{eqnarray*} n=6 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}=\frac{1}{6}<\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ .

Nun gilt weiter

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{n}\leq |a|+|a_n-a|=|0|+|a_n-a|=\frac{1}{n}<\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ ,

Insgesamt also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}<\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ .

Wir definieren weiter $\begin{eqnarray*} M:=\text{max}\{1, \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}\} \end{eqnarray*}$ .
Hier fällt $\begin{eqnarray*} a_{N-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a+\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ zusammen (gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ ), da $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$

Edit: $\begin{eqnarray*} \text{max} \end{eqnarray*}$ für Definition von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ angepasst.

19.03.2024, 16:47

Evelyn2003

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Zitat:

Original von Romaxx

Insgesamt also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}<\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ .

Wir definieren weiter $\begin{eqnarray*} M:=\{1, \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}\} \end{eqnarray*}$ .
Hier fällt $\begin{eqnarray*} a_{N-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a+\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ zusammen (gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ ), da $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$

Das Beispiel ist sehr anschaulich. Das hat sehr geholfen. Wink

Jedoch am Ende wäre doch $\begin{eqnarray*} M = 1 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ die größte Zahl innerhalb der Mengenklammer ist?

$\begin{eqnarray*} M:=\{1, \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M:= max(\{1, \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}\}) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |a_n| \leq M \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{n}| \leq 1 \end{eqnarray*}$

19.03.2024, 17:28

Romaxx

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Ja, da hast du einen Fehler in meiner Antwort gefunden.

Ich habe diesen in meinem letzten Post editiert und angepasst.

19.03.2024, 17:48

Evelyn2003

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Vielen Dank für deine Mühe. Romaxx!! smile

Leider sind währendessen wieder neue Fragen aufgekommen. Hättest du die Güte mir bitte auch hierbei behilflich zu sein? unglücklich

Bei dem Satz 4.3 a): Wieso kann man $\begin{eqnarray*} |a_n - a|| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |b_n - b|| \end{eqnarray*}$ miteinander addieren?

Und bei dem Satz 4.3 b): Weshalb steht unten das (echt kleiner)

$\begin{eqnarray*} |a_n||b_n-b| + |a_n-a||b| < K \cdot \frac{\epsilon}{2K}+\frac{\epsilon}{2K}\cdot K \end{eqnarray*}$

Obwohl $\begin{eqnarray*} |a_n| \leq K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |b| \leq K \end{eqnarray*}$

19.03.2024, 19:21

Romaxx

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Zwei Dinge Vorweg:

Solange es um Folgen und Konvergenz geht, ist es den Moderatoren sicherlich egal, ob du für neue Fragen im selben Topic weiterfragst. Sollte sich das Thema aber signifikant ändern, bitte ein neues Thema aufmachen.
Deine Fragen werden immer einfacher, etwas Eigeninitiative könnte nicht schaden.

Nun zu deinen Fragen:

a) Du kannst die beiden Ausdrücke nach oben abschätzen.
Das ist etwas anderes, als addieren, weil wir hier Ungleichungen vorliegen haben.
Beide Ausdrücke ergeben sich aus der Dreiecksungleichung und anschließend wird die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} \dots<\frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ verwendet und jeder einzelne Ausdruck nach oben einzeln abgeschätzt.

b) Hier werden mehrere Abschätzungen gleichzeitig vorgenommen und die Abschätzung mit $\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\frac{\epsilon}{2K} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |b_n-b|<\frac{\epsilon}{2K} \end{eqnarray*}$ ist eben das maximal Schlimmste (Größte), was bei der Abschätzung herauskommen kann, d.h. wenn du mehre Abschätzungen nach oben gleichzeitig machst und welche mit $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ vorkommen, nimmt man immer den Worst Case und das ist eben $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ .

21.03.2024, 17:34

Evelyn2003

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Und noch einmal möchte ich mich für deine Hilfe bedanken. smile

Zu deiner Anmerkung: Ich komme leider beim besten Willen nicht weiter. Auch wenn der Sachverhalt für die meisten hier trivial ist. Sonst würde ich die Fragen hier nicht stellen. Mir ist bewusst das ich mich eine Zeit lang damit auseinandersetzen muss. unglücklich

Wärst du bitte so freundlich mir hierbei auch noch zu helfen?

Erstmal zu der "a)"

Wieso ist $\begin{eqnarray*} |b_n - b| \end{eqnarray*}$ echt kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac{|b|}{2} \end{eqnarray*}$ ?
Ich weiß ja nur das sowohl $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , als auch $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ ungleich 0 sind. Ebenso ist $\begin{eqnarray*} \frac{|b|}{2} \end{eqnarray*}$ ungleich 0 - aber kleiner als |b|?

Zu der "b)"

Wäre die Ungleichung (ganz unten) nicht falsch wenn $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{1}{|b|^2} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} |b_n-b| < \frac{|b|}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |b_n-b| < \frac{\epsilon|b|^2}{2} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{1}{|b|^2} \end{eqnarray*}$ dann würde ja daraus folgern das

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |b_n-b| < \frac{1}{|b|^2} \cdot \frac{|b|^2}{2} \end{eqnarray*}$

Sei beispielsweise nun $\begin{eqnarray*} b_n = 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |3-4| < \frac{1}{4^2} \cdot \frac{4^2}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 1 < \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

22.03.2024, 17:51

Romaxx

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Zitat:

Original von Evelyn2003
Erstmal zu der "a)"

Wieso ist $\begin{eqnarray*} |b_n - b| \end{eqnarray*}$ echt kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac{|b|}{2} \end{eqnarray*}$ ?
Ich weiß ja nur das sowohl $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , als auch $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ ungleich 0 sind. Ebenso ist $\begin{eqnarray*} \frac{|b|}{2} \end{eqnarray*}$ ungleich 0 - aber kleiner als |b|?

Hier wird $\begin{eqnarray*} \epsilon=\frac{|b|}{2} \end{eqnarray*}$ gesetzt und das geht, weil $\begin{eqnarray*} (b_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ konvergent gegen $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ . Das ist einfach das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Kriterium, welches hier gilt.

Zitat:

Original von Evelyn2003

Zu der "b)"

Wäre die Ungleichung (ganz unten) nicht falsch wenn $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{1}{|b|^2} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} |b_n-b| < \frac{|b|}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |b_n-b| < \frac{\epsilon|b|^2}{2} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{1}{|b|^2} \end{eqnarray*}$ dann würde ja daraus folgern das

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |b_n-b| < \frac{1}{|b|^2} \cdot \frac{|b|^2}{2} \end{eqnarray*}$

Sei beispielsweise nun $\begin{eqnarray*} b_n = 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |3-4| < \frac{1}{4^2} \cdot \frac{4^2}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 1 < \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Nein, ist es nicht.
Die Folgenglieder sind von dir einfach so hingedreht worden, dass es so aussieht, als wäre etwas falsch.
Wenn du eine konvergente Folge $\begin{eqnarray*} (b_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ hast, gilt eben das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Kriterium, und das sagt, dass für beliebige kleine Zahlen, $\begin{eqnarray*} |b_n-b| \end{eqnarray*}$ ab einem $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ eben kleiner ist, als diese beliebig kleine Zahl. Es gilt eben für das neue Epsilon:

$\begin{eqnarray*} \epsilon'=\frac{\epsilon|b|^2}{2} \end{eqnarray*}$

Egal was du für $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ (ohne Strich) einsetzt.

27.03.2024, 18:54

Evelyn2003

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Ich muss zugeben das ich bei den letzten mich mehr hätte anstrengen sollen. Vielen Dank für deine Hilfe. Romaxx! Du bist der Beste! Wink

Jetzt bin ich mal wieder auf ein weiteres Problem gestoßen?

angenommen
$\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N} = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (b_n)_{n \in \mathbb N} = \frac{n+1}{n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$

Wir erkennen das $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ echt größer ist als $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ , da der Zähler $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ immer positiv ist für $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n - a_n = \frac{2n+1}{n(n+1)} \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ wäre somit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1 \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ wäre somit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n}}{\frac{n+1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n}} = \frac{1}{1+0} = \frac{1}{1} = 1 \end{eqnarray*}$

jetzt begreife ich nicht genau wann die Bedingung das $\begin{eqnarray*} a_k \leq a_n \end{eqnarray*}$ erfüllt ist wie im Screenshot angegeben?

z.B für $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_2 = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3} = 0,66 \end{eqnarray*}$

z.B für $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_3 = \frac{3}{3+1} = \frac{3}{4} = 0,75 \end{eqnarray*}$

In dem Fall stimmt es $\begin{eqnarray*} a_2 \leq a_3 = 0,66 \leq 0,75 \end{eqnarray*}$

Wenn aber $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ wäre. Würde ja $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ niemals kleiner als $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ sein für $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

27.03.2024, 22:31

Romaxx

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Evelyn2003, du darfst nicht einfach getrennte Sachverhalte wahllos in einen Zusammenhang bringen. Das tuhst du hier und auch schon vorher. Ihr habt in eurem Skript Intervallschachtelung oder Intervallschachtelungs-Prinzip irgendwo definiert. Bitte suche die Definition heraus und poste sie hier. Dann kann ich dir daran aufzeigen, warum $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ keine gültige Folgendefinition für $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist. Vielleicht kommst du ja dann schon selber darauf.

Ein Tipp, der gerade als Anfänger hilfreich ist, ist der, sich strickt an die Definitionen und Sätze im Skript zu halten und nicht mehr oder weniger hinzuzudichten. Ich weiss, dass das schwer fällt, weil man gerne mehr in mathematischen Definitionen und Aussagen sehen möchte, als darin tatsächlich steckt. Die Motivation kommt dann, wenn du, weil du dich daran hältst, Aufgaben erfolgreich bearbeitest.

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