Nochmal zum Primzahlsatz: Dichte und Zählfunktion

15.03.2024, 23:20

Malcang

Nochmal zum Primzahlsatz: Dichte und Zählfunktion

Hallo nochmal,

seid mir bitte nicht böse dass ich so ein Aufhebens um dieses eine Thema mache, aber mir ist noch eine Frage gekommen, die nicht direkt in dem Zusammenhang mit dem anderen Thread steht.

Kurz:
Ich habe eine Menge $\begin{eqnarray*} P\subset \mathbb N \end{eqnarray*}$ . In dieser untersuche ich die Verteilung der Primzahlen darin.
Sei $\begin{eqnarray*} S(x) \end{eqnarray*}$ die Anzahl derjenigen Elemente $\begin{eqnarray*} p\in P \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p\leq x \end{eqnarray*}$ .
Weiterhin sei $\begin{eqnarray*} \pi_P(x) \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Primzahlen $\begin{eqnarray*} \leq x \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi(x) \end{eqnarray*}$ die uns bekannte Primzahlfunktion.

Nun habe ich mit HALs Hilfe herausgefunden:
$\begin{eqnarray*} \frac{\pi_P(x)}{S(x)} \sim 2 \frac{\pi(x)}{x} \end{eqnarray*}$ (HAL schreibt $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ , aber genau darauf läuft meine Frage hinaus).

Sagen wir, es wäre $\begin{eqnarray*} \frac{\pi_P(x)}{S(x)} \sim 2\frac{\pi(x)}{x} \end{eqnarray*}$ . Dann ist ja $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac{\pi_P(x)}{S(x)}}{2\frac{\pi(x)}{x}} = 1. \end{eqnarray*}$
Ist es nun überhaupt erlaubt dass ich rechne
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\pi_P(x)}{S(x)} = 2\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{x}? \end{eqnarray*}$

Denn am Ende möchte ich gerne auf die Darstellung $\begin{eqnarray*} \pi_P(x) \sim 2S(x)\cdot \frac{\pi(x)}{x} \end{eqnarray*}$ bzw noch lieber auf $\begin{eqnarray*} \pi_P(x) \approx 2S(x)\cdot \frac{\pi(x)}{x} \end{eqnarray*}$ .
Aber wie bekomme ich diese Umformungen "sauber" hin?

16.03.2024, 09:26

Romaxx

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RE: Nochmal zum Primzahlsatz: Dichte und Zählfunktion

Zitat:

Original von Malcang
Nun habe ich mit HALs Hilfe herausgefunden:
$\begin{eqnarray*} \frac{\pi_P(x)}{S(x)} \sim 2 \frac{\pi(x)}{x} \end{eqnarray*}$ (HAL schreibt $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ , aber genau darauf läuft meine Frage hinaus).

Gemeint ist hier asymptotisch äquivalent. Beides, also $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ bedeutet für mich dasselbe. Du schreibst eine Zeile darunter, wie dies zu verstehen ist, für mich gleichbedeutend mit einer Definition:

Zitat:

Original von Malcang
Sagen wir, es wäre $\begin{eqnarray*} \frac{\pi_P(x)}{S(x)} \sim 2\frac{\pi(x)}{x} \end{eqnarray*}$ . Dann ist ja $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac{\pi_P(x)}{S(x)}}{2\frac{\pi(x)}{x}} = 1. \end{eqnarray*}$

Weiterhin:

Zitat:

Original von Malcang
Ist es nun überhaupt erlaubt dass ich rechne
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\pi_P(x)}{S(x)} = 2\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{x}? \end{eqnarray*}$

Soweit der Grenzwert existiert, eigentlich bzw. uneigentlich, ja.
In diesem Fall ist der Grenzwert gleich 0.

Zitat:

Original von Malcang
Denn am Ende möchte ich gerne auf die Darstellung $\begin{eqnarray*} \pi_P(x) \sim 2S(x)\cdot \frac{\pi(x)}{x} \end{eqnarray*}$ bzw noch lieber auf $\begin{eqnarray*} \pi_P(x) \approx 2S(x)\cdot \frac{\pi(x)}{x} \end{eqnarray*}$ .
Aber wie bekomme ich diese Umformungen "sauber" hin?

Soweit die Definition von oben gilt, bedeutet Ersteres nichts anderes als

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi_P(x)}{S(x)} \sim 2\frac{\pi(x)}{x} \end{eqnarray*}$ ,

denn es läuft auf dasselbe hinaus:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\pi_P(x)}{S(x)2\frac{\pi(x)}{x}} = \frac{\frac{\pi_P(x)}{S(x)}}{2\frac{\pi(x)}{x}} = 1 \end{eqnarray*}$ ,

daher ist $\begin{eqnarray*} \pi_P(x) \sim 2S(x)\cdot \frac{\pi(x)}{x} \Leftrightarrow \frac{\pi_P(x)}{S(x)} \sim 2\frac{\pi(x)}{x} \end{eqnarray*}$ .

Letzteres, also $\begin{eqnarray*} \pi_P(x) \approx 2S(x)\cdot \frac{\pi(x)}{x} \end{eqnarray*}$ bedeutet für mich dasselbe wie $\begin{eqnarray*} \pi_P(x) \sim 2S(x)\cdot \frac{\pi(x)}{x} \end{eqnarray*}$ , solange mir niemand eine andere Definition davon liefert.
Du scheinst eine gewisse Vorstellung von $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ zu haben, die sich von $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ unterscheidet, wie ist deren Definition?

16.03.2024, 10:01

Malcang

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Danke Romaxx.

Ich habe keine Definition für $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ , es geht mir halt darum, dass ich von zwei verschiedenen Ausdrücken schließe. Nämlich von $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ .

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