Abstand eines Punktes von zwei anderen im Verhältnis 2:1

16.03.2024, 15:11

MMchen60

Abstand eines Punktes von zwei anderen im Verhältnis 2:1

Liebe Forumsgemeinde, ich hänge an der Aufgabe gemäß Anhang. Dort ist folgendes gemeint: Der Punkt P soll vom Punkt A doppelt so weit entfernt sein wie P von B. Die Punkte A und B sind gegeben mit A(2|-3|0) und B(3|2|0).
Ich habe da eine diesbezgl, Gleichung aufgestellt und znäachst mal nach =0 umgestellt, siehe Anhänge. Habe jetzt eine Gleichung mit 2 Unbekannten und grüble an der 2. Gleichung zum Lösen des Systes, mir fällt aber nichts ein.
Dankie für Antwort.

16.03.2024, 15:56

klauss

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RE: Abstand eines Punktes von zwei anderen im Verhältnis 2:1
Hierzu ist natürlich das Bild aus der Aufgabe auch nützlich und sollte nicht vorenthalten werden:
[attach]57647[/attach]

Man braucht zur Lösung gar keine komplizierten Gleichungssysteme, weil die Aufgabe einfach nur 2 mögliche Punkte P verlangt. Dann nimmt man die am einfachsten zu berechnenden.
Die Musterlösung schlägt 2 Punkte P vor, die beide auf der Geraden durch A und B liegen. Hast Du eine Idee, welche das sein könnten?

16.03.2024, 17:20

Bürgi

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RE: Abstand eines Punktes von zwei anderen im Verhältnis 2:1
Guten Tag,

deine letzte Gleichung ist richtig. Durch quadratische Ergänzung erhält man die Gleichung eines Kreises auf dem alle möglichen Punkt P liegen:

Ausgehend von dieser Gleichung erhältst du nach Division durch 3 und die notwendigen quadratischen Ergänzungen:

$\begin{eqnarray*} \left(p_1^2- \frac{20}3 p_1+\frac{100}9 \right) + \left(p_2^2 - \frac{22}3 p_2 +\frac{121}9\right) = \frac{100}9 + \frac{121}9 - 13 \end{eqnarray*}$

Das ist die Gleichung eines Kreises mit $\begin{eqnarray*} M\left(\frac{10}3 \mid \frac{11}3 \right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r = \frac13 \cdot \sqrt{104} \end{eqnarray*}$

16.03.2024, 19:14

MMchen60

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RE: Abstand eines Punktes von zwei anderen im Verhältnis 2:1

Zitat:

Original von klauss
Man braucht zur Lösung gar keine komplizierten Gleichungssysteme, weil die Aufgabe einfach nur 2 mögliche Punkte P verlangt. Dann nimmt man die am einfachsten zu berechnenden.
Die Musterlösung schlägt 2 Punkte P vor, die beide auf der Geraden durch A und B liegen. Hast Du eine Idee, welche das sein könnten?

Ja, so einfach ist das, dass man grübelt. Klar, der eine Punkt liegt zwischen A und B, der andere außerhalb. Danke.

16.03.2024, 23:27

Leopold

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Die Fragestellung ist unter dem Begriff Kreis des Apollonios bekannt.

Die Punkte $\begin{align*} X \end{align*}$ der euklidischen Ebene, für die die Abstände von zwei Punkten $\begin{align*} A, B \end{align*}$ dasselbe Verhältnis $\begin{align*} \lambda > 0 , \ \lambda \neq 1 \end{align*}$ besitzen, bilden einen Kreis. Sein Mittelpunkt $\begin{align*} M \end{align*}$ und sein Radius $\begin{align*} r \end{align*}$ sind

$\begin{align*} M = \frac{1}{\lambda^2 - 1} \cdot \left( \lambda^2 B - A \right) \, , \ \ r = \frac{\lambda}{\left| \lambda^2 - 1 \right|} \cdot \left| A - B \right| \end{align*}$

In der Aufgabe ist $\begin{align*} A = \left(2 , - 3 \right) \end{align*}$ und $\begin{align*} B = \left( 3 , 2 \right) \end{align*}$ sowie $\begin{align*} \lambda = 2 \end{align*}$ . Man erhält

$\begin{align*} M = \frac{1}{2^2-1} \cdot \left( 2^2 \cdot \left( 3 , 2 \right) - \left( 2 , -3 \right) \right) = \frac{1}{3} \left( 10 , 11 \right) \end{align*}$ und $\begin{align*} r = \frac{2}{\left| 2^2 - 1 \right|} \cdot \left| \left( -1 , -5 \right) \right| = \frac{2}{3} \sqrt{26} \end{align*}$

17.03.2024, 09:03

MMchen60

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RE: Abstand eines Punktes von zwei anderen im Verhältnis 2:1

Zitat:

Original von Bürgi
Guten Tag,
deine letzte Gleichung ist richtig. Durch quadratische Ergänzung erhält man die Gleichung eines Kreises auf dem alle möglichen Punkt P liegen:
]

Besten Dank. W#re ich selbst nicht druaf gekommen.

17.03.2024, 16:26

MMchen60

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Zitat:

Original von Leopold
Die Fragestellung ist unter dem Begriff Kreis des Apollonios bekannt.

Hallo, besten Dank hierfür, wieder etwas zum Dazulernen.

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