TR suggeriert 4*sqrt(5) ist in Q

16.03.2024, 14:32

Humbug

TR suggeriert 4*sqrt(5) ist in Q

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ ist bekanntlich eine irrationale Zahl. Mein Taschenrechner zeigt 10 Nachkommastellen an (i.e. Display ist voll).
Nun ist $\begin{eqnarray*} 4\cdot\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ auch eine irrationale Zahl, allerdings zeigt mein TR nur 8 Nachkommastellen an. Wenn ich mich blind auf dieses Gerät verließe, würde ich annehmen, die Zahl ist in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .
Wieso werden nicht mehr Nachkommastellen angezeigt ?

Meine Ideen:
Taschenrechner (bzw alle Rechenmaschinen) rechnen mit Approximationsverfahren und endlichem Speicher, daher kann es zu Ungenauigkeiten beim Rechnen mit reellen Zahlen kommen. Das erklärt aber nicht warum 2 Nachkommastellen fehlen. In einer Pythonkonsole erhalte ich ein genaueres Ergebnis: 8.94427190999916
Taschenrechner gibt nur 8.94427191

16.03.2024, 14:37

Humbug

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Wahrscheinlich, weil danach eine Menge 9-en folgen, die zu 1 zusammengefasst werden. Trotzdem komisch.

16.03.2024, 14:43

DrummerS

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Bekannt auch als "Aufrunden", was der TR an der betroffenen Stelle macht.

16.03.2024, 14:51

Humbug

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Ja, aus irgendeinem Grund nahm ich an, dass der TR immer das Display voll macht und dann ggf. aufrundet.

16.03.2024, 15:16

Romaxx

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Da scheint etwas in deiner Vorstellung der Reihenfolge falsch zu sein, wenn du dich so ausdrückst.
Es wird erst gerundet, dann steht die Darstellung fest und der TR kann die Zahl auf dem Display anzeigen.
Sonst müsste der TR ja die Zahl auf dem Display nach dem Runden erneut ändern.

16.03.2024, 20:15

Leopold

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$\begin{align*} \sqrt{80} \end{align*}$

= 8 , 94427 19099 99158 78563 66946 74925 10494 17624 73438 44610 28970 83588 98164 20837 02551 21959 76576 57633 51512 90998 ...

17.03.2024, 06:35

DrummerS

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$\begin{eqnarray*} 4 \cdot \sqrt{5} = \sqrt{16 \cdot 5} =\sqrt{80} \end{eqnarray*}$

20.03.2024, 06:34

Guppi12

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Dein Taschenrechner zeigt die rationale Zahl an, die am nahesten am echten Ergebnis liegt. Du hättest vermutlich gerne, dass er 8.9442719099 anzeigt, aber das ist weiter von der Wahrheit entfernt, als das, was er tatsächlich anzeigt.

Offtopic: sind die beiden Beiträge vor mir AI generiert? Das hat doch nichts mit der Frage im Threadstart zu tun.

20.03.2024, 07:49

Humbug

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Genau Gupp12, intuitiv ist mir ein volles Display lieber als eine gerundete Zahl, die näher am Ergebnis liegt Big Laugh

Danke euch allen.

20.03.2024, 13:45

HAL 9000

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Dabei ist $\begin{eqnarray*} 8.94427191 = \frac{894427191}{100000000} \end{eqnarray*}$ nicht mal ein besonders guter rationaler Näherungswert für $\begin{eqnarray*} \sqrt{80} \end{eqnarray*}$ :

So liegt z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{16692641}{1866294} \end{eqnarray*}$ trotz weit kleinerem Nenner deutlich näher an $\begin{eqnarray*} \sqrt{80} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

20.03.2024, 15:35

Romaxx

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Zitat:

Original von Guppi12
Dein Taschenrechner zeigt die rationale Zahl an, die am nahesten am echten Ergebnis liegt.

Wohl nicht, siehe HAL 9000s Beitrag. Und diese rationale Zahl ist bei Weitem noch nicht die Beste im Sinne der Nächsten: Ob man die beste rationale Zahl finden kann Augenzwinkern

20.03.2024, 18:04

Leopold

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Die Menge, aus der mit Hilfe der Eigenschaft "am nächsten am tatsächlichen Ergebnis" ausgesondert wird, ist oberflächlich angegeben: Es sind selbstverständlich nicht die rationalen Zahlen, sondern die abbrechenden Dezimalbrüche, aus denen ausgesondert wird. Da $\begin{align*} \mathbb{Q} \end{align*}$ dicht in $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ liegt, kann es unter den rationalen Zahlen keine "nächste" geben.
Ah! Und es sind auch nicht die abbrechenden Dezimalbrüche, sondern die abbrechenden Dezimalbrüche einer fest vorgegebenen maximalen Stellenzahl.

Hoffentlich stimmt's jetzt...

Falls nicht, dann liegt es am Frühling, der neckisch durchs Fenster hereinströmt.

21.03.2024, 13:54

HAL 9000

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Man kann für eine reelle Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zumindesten eine beste rationale Approximation in der Teilmenge der rationalen Zahlen mit positivem Nenner unterhalb einer vorgegeben Schranke bestimmen.

Dazu hat Finn_ mal ein schönes Python-Skript hier angegeben, was zwar (zugegeben) nur für rationale $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ geeignet ist, aber man kann ja auch für ausreichend genaue rationale Näherungen der eigentlich beabsichtigten reellen Zahl nutzen, oben etwa (mit Anleihe bei Leopold) für

$\begin{eqnarray*} x = \frac{89\,442\,719\,099\,991\,587\,856\,366\,946\,749 \,251\,049\,417\,624\,734\,384\,461\,028 \,970\,835\,889\,816\,420\,837\,025\,512\,195\,976 \,576\,576\,335\,151\,290\,998}{10^{100}} \end{eqnarray*}$ .

09.04.2024, 21:09

Guppi12

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Zitat:

Original von Romaxx

Zitat:

Original von Guppi12
Dein Taschenrechner zeigt die rationale Zahl an, die am nahesten am echten Ergebnis liegt.

Wohl nicht, siehe HAL 9000s Beitrag. Und diese rationale Zahl ist bei Weitem noch nicht die Beste im Sinne der Nächsten: Ob man die beste rationale Zahl finden kann Augenzwinkern

Ja, da fehlte wohl noch der Nebensatz: die er anzeigen kann, also: er zeigt die rationale Zahl an, die am nahesten am echten Ergebnis liegt, die er anzeigen kann.

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