Flächeninhalt Drachenviereck

16.03.2024, 22:03

Känguruhchen

Flächeninhalt Drachenviereck

Meine Frage:
Die Aufgabe lautet wie folgt:

Helena hat ein quadratisches Blatt Papier mit Seitenlänge 1. Sie faltet zwei Seiten des Quadrats auf die Diagonale (s. Abb.). Welchen Flächeninhalt hat das so entstandene Drachenviereck?

[attach]57653[/attach]

Meine Ideen:
Das Drachenviereck hat die Höhe Wurzel-aus-zwei (Diagonale im Original-Quadrat). Aber die die Breite komme ich einfach nicht.

Im Internet finde ich zwar die Antwort, aber keine Erklärung. Könnte mir jemand auf die Sprünge helfen? smile

Originalbild eingefügt, da externer Link erlöschen kann.
klauss

16.03.2024, 22:44

klauss

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RE: Känguru 2020 - Klassenstufen 11 bis 13 - Aufgabe C6
Wenn Du selbst ein Stück Papier so faltest, sollte klar werden, welche Art von Dreieck das grüne sein muß.

[attach]57654[/attach]

17.03.2024, 07:32

Känguruhchen

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RE: Känguru 2020 - Klassenstufen 11 bis 13 - Aufgabe C6
Vielen Dank für den Hinweis. Damit komme ich der Sache schon etwas näher, mein Ergebnis ist aber immernoch falsch:
- Aufgaben: mathe-kaenguru.de/chronik/aufgaben/downloads/kaenguru2020_1113.pdf
- Lösung: mathe-kaenguru.de/wettbewerb/loesung/kaenguru_loesungen_alle.pdf

Also, bezogen auf der grüne Dreieck:

1: hypotenuse und kathete sind zusammen die Seitenlänge des Original-Quadrats:
hypotenuse + kathete = 1

2: Das Dreieck ist rechtwinklig und gleichschenklig, also:
hypotenuse = wurzel(2) * kathete

Aus Kombination der beiden Gleichungen folgt:
hypotenuse = 2 - wurzel(2)

So, nun zum Flächeninhalt des Drachenvierecks:

flaeche_drachenviereck = 1/2 * hoehe * breite

Weil die hoehe die Diagonale im Original-Qudrat ist:
hoehe = wurzel(2)

Die breite ist die hypotenuse des von die grün gezeichneten Dreiecks. Also_

flaeche_drachenviereck = 1/2 * wurzel(2) * (2 - wurzel(2))
= wurzel(2) - 1

Die korrekte Lösung müsste aber "2 - wurzel(2)" sein. Wo liegt mein Fehler?

17.03.2024, 08:48

Helferlein

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Zitat:

Die breite ist die hypotenuse des von die grün gezeichneten Dreiecks.

Das sehe ich anders. Die Breite verläuft senkrecht zur Höhe und hängt daher primär von der Kathete des Dreiecks ab.

Edit:Tippfehler in der Antwort korrigiert.

17.03.2024, 09:28

Känguruhchen

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Ah, sorry, ich hatte mich gedanklich auf dieses Dreieck bezogen:

i.imgur.com/9RzKhwc.png

17.03.2024, 09:59

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Die 4 Winkel links oben sind gleich
[attach]57656[/attach]

17.03.2024, 10:55

Känguruhchen

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Ja, 90°/4. Ich komme aber absolut nicht drauf, wie ich daraus die Breite des Drachenvierecks ausrechnen kann.

Die Lösung ist ja

flaeche_drachenviereck = 2 - wurzel(2)

Und weil

flaeche_drachenviereck = 1/2 * hoehe * breite

ist, und wir

hoehe = wurzel(2)

haben, muss gelten

2 - wurzel(2) = 1/2 * wurzel(2) * breite

also

<=> breite = (2 - wurzel(2)) / (1/2 * wurzel(2))

Aber warum? (Sorry, ich stehe echt auf dem Schlauch.)

17.03.2024, 11:07

HAL 9000

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Mit "Breite" ist in deiner Formel die eine Diagonale des Drachenvierecks gemeint, berechenbar als doppelte Kathete deines grünen rechtwinkligen Dreiecks.

Eine andere Berechnungsmöglichkeit des Flächeninhalt ist die:

flaeche_drachenviereck = 2 * 1/2 * (Hypotenuse grünes Dreieck) * Quadratseitenlänge = $\begin{eqnarray*} 2-\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

17.03.2024, 11:14

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$\begin{eqnarray*} \frac{b}{1}=\tan(\frac{90°}{4} ) \end{eqnarray*}$
[attach]57658[/attach]

17.03.2024, 11:40

Känguruhchen

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Ok, die Kathete des grünen Dreiecks ist tan(90/4).

Also:

kurze_diagonale_drachenviereck = 2 * tan(90/4)

Und somit

flaeche_drachenviereck = 1/2 * lange_diagonale_drachenviereck * kurze_diagonale_drachenviereck
<=> flaeche_drachenviereck = 1/2 * wurzel(2) * 2 * tan(90/4)
<=> flaeche_drachenviereck = wurzel(2) * tan(90/4)

Klar, mit Taschenrechner kann ich bestätigen, dass

sqrt(2)*tan((pi/180)*90/4)

das gleiche ist wie

2-sqrt(2)

Aber wie komme ich selbst auf 2-sqrt(2)?

17.03.2024, 12:03

HAL 9000

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Ich dachte, das wäre längst klar:

Zitat:

Original von Känguruhchen
Also, bezogen auf der grüne Dreieck:

1: hypotenuse und kathete sind zusammen die Seitenlänge des Original-Quadrats:
hypotenuse + kathete = 1

2: Das Dreieck ist rechtwinklig und gleichschenklig, also:
hypotenuse = wurzel(2) * kathete

Aus Kombination der beiden Gleichungen folgt:
hypotenuse = 2 - wurzel(2)

Ausführlicher: Ist $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die Kathete und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ die Hypotenuse des grünen Dreiecks, dann gilt $\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{\sqrt{2}}c \end{eqnarray*}$ . Das in die aus 1) resultierende Gleichung $\begin{eqnarray*} c+a=1 \end{eqnarray*}$ eingesetzt ergibt sich $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)c = 1 \end{eqnarray*}$ und damit

$\begin{eqnarray*} c = \frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)} = \sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1\right) = 2-\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .

17.03.2024, 12:03

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G= Grundseite des grünen Dreiecks
K=Kathete des grünen Dreiecks

G+K=1 und das grüne Dreieck ist rechtwinklig

17.03.2024, 12:20

Känguruhchen

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Ok, also

Also die Hypotenuse des grünen Dreiecks als

c = 2 - sqrt(2)

hatte ich ja auch schon raus.

Hab also nochmal durchgerechnet:

die Kathete des grünen Dreiecks ist also

a = c / sqrt(2)

<=> a = (2 - sqrt(2)) / sqrt(2)
<=> a = 2 / sqrt(2) - sqrt(2) * sqrt(2)
<=> a = 2 / sqrt(2) - 1

Mit

kurze_diagonale_drachenviereck = 2 * a

ergibt das eingesetzt in

flaeche_drachenviereck = 1/2 * lange_diagonale_drachenviereck * kurze_diagonale_drachenviereck

dann

flaeche_drachenviereck = 1/2 * sqrt(2) * 2 * (2 / sqrt(2) - 1)
flaeche_drachenviereck = sqrt(2) * (2 / sqrt(2) - 1)
flaeche_drachenviereck = sqrt(2) * 2 / sqrt(2) - sqrt(2) * 1
flaeche_drachenviereck = 2 - sqrt(2)

q. e. d. Prost

Vielen Dank Leute! Jetzt weiß ich gar nicht mehr, wo ich am Anfang fest hing. Warscheinlich irgendwo beim Einsetzen/Umformen etwas falsch gemacht. Ihr habt mein Restwochenende gerettet. Freude

17.03.2024, 12:49

Känguruhchen

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Oh, haha, es geht ja noch viel einfacher!

Man muss gar kein Gleichungssytem (zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten) lösen, um auf a (die Kathete des grünen Dreiecks) zu kommen.

lange_diagonale_drachenviereck = sqrt(2)

Weil ja die Quadratkante auf die Diagonale gefaltet wurde, gilt

a = lange_diagonale_drachenviereck - Quadratkante
<=> a = lange_diagonale_drachenviereck - 1

und dann gehts ganz normal weiter mit

kurze_diagonale_drachenviereck = 2 * a

und

flaeche_drachenviereck = 1/2 * lange_diagonale_drachenviereck * kurze_diagonale_drachenviereck
<=> flaeche_drachenviereck = 1/2 * sqrt(2) * 2 * a
<=> flaeche_drachenviereck = 1/2 * sqrt(2) * 2 * (lange_diagonale_drachenviereck - 1)
<=> flaeche_drachenviereck = 1/2 * sqrt(2) * 2 * (sqrt(2) - 1)
<=> flaeche_drachenviereck = sqrt(2) * (sqrt(2) - 1)
<=> flaeche_drachenviereck = 2 - sqrt(2)

18.03.2024, 08:29

HAL 9000

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Warum so kompliziert? Wie ich oben schon erwähnt hatte: Wenn man schon die Hypotenuse $\begin{eqnarray*} c=|EB| \end{eqnarray*}$ des grünen Dreiecks berechnet hat, dann kann man doch gleich so rechnen:

[attach]57659[/attach]

$\begin{eqnarray*} F_{EBFD} = 2\cdot F_{EBD} = 2\cdot \frac{1}{2}\cdot |EB| \cdot h_{EB} = \left(2-\sqrt{2}\right)\cdot 1 = 2-\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

19.03.2024, 15:06

Leopold

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Das Ergebnis hat mich sogleich an die Quadratverdoppelung denken lassen, wie sie uns seit Sokrates und dem Sklaven in Platons "Menon" überliefert ist.

Verdoppeln wir also das Quadrat $\begin{align*} ABCD \end{align*}$ , indem wir über der Diagonalen $\begin{align*} DB \end{align*}$ ein Quadrat $\begin{align*} DBGH \end{align*}$ errichten. Auf der unteren Hälfte von $\begin{align*} DB \end{align*}$ wählen wir einen Punkt $\begin{align*} K \end{align*}$ und errichten in ihm das Lot auf $\begin{align*} DB \end{align*}$ . Die Schnitte dieses Lots mit den Strecken $\begin{align*} AB, BC, GH \end{align*}$ liefern die Punkte $\begin{align*} E, F, I \end{align*}$ .
Die Dreiecke $\begin{align*} DBF \end{align*}$ und $\begin{align*} BGK \end{align*}$ sind gleich groß, da sowohl die Seiten $\begin{align*} DB \end{align*}$ und $\begin{align*} BG \end{align*}$ als auch deren Höhen gleich groß sind (gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck $\begin{align*} BFK \end{align*}$ ). Damit sind das Drachenvierech $\begin{align*} EBFD \end{align*}$ und das Rechteck $\begin{align*} BGIK \end{align*}$ flächengleich.

[attach]57661[/attach]

Im Falle der Aufgabe besitzt $\begin{align*} DK \end{align*}$ die Länge 1, so daß man, indem man die Inhalte von $\begin{align*} DBGH \end{align*}$ und $\begin{align*} KIHD \end{align*}$ subtrahiert,

$\begin{align*} 2 - 1 \cdot \sqrt{2} = 2 - \sqrt{2} \end{align*}$

als Flächeninhalt des Drachens erhält.

Viele Wege führen zum Drachenviereck...

25.03.2024, 17:21

mYthos

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Immer wieder kann man sich wundern, wie verkompliziert manche Aufgaben werden können, auch wenn sie letztendlich damit die richtige Lösung haben.
Die Flächenformel des Drachenviereckes lautet - mit seinen senkrecht aufeinander stehenden Diagonalen e und f: $\begin{eqnarray*} A = e \cdot \frac f 2 \end{eqnarray*}$

Hier ist $\begin{eqnarray*} e = \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac f 2 \end{eqnarray*}$ die Kathethe des kleinen rechwinkelig-gleichschenkeligen Dreieckes: $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 - 1 \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} A = \sqrt 2 \cdot \left(\sqrt2 - 1\right) = 2 - \sqrt 2 \end{eqnarray*}$

mY+

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