[Formulierung] Genau-dann-wenn Aussage

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17.03.2024, 19:13

Malcang

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[Formulierung] Genau-dann-wenn Aussage

Guten Abend smile

ich habe eine "kleine" Frage Big Laugh

Ich habe die Aussage

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine ungerade ganze Zahl. Es ist $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ genau dann eine Quadratzahl, wenn das Jacobisymbol $\begin{eqnarray*} \left(\frac{a}{n}\right) \neq -1 \end{eqnarray*}$ für jede ganze Zahl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ erfüllt ist.

Nun habe ich auch den Beweis dazu geführt.
Als erstes führe ich dann ja die "=>" Richtung.
Das ist in meinem Fall aber doch "WENN das Jacobisymbol... DANN ist $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine Quadratzahl". Oder? verwirrt

Ich wollte nämlich gerne als erstes (also "=>") den ganz kurzen Beweis führen, wenn n eine Quadratzahl ist.

18.03.2024, 19:22

IfindU

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So kenne ichs wenigstens. Um jedes Missverständnis aus dem Weg zu räumen, kannst du es ja noch einmal explizit sagen. Aber die ganzen Fragen grenzen ja schon an Paranoia Augenzwinkern

18.03.2024, 19:29

Malcang

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Zitat:

Original von IfindU
So kenne ichs wenigstens. Um jedes Missverständnis aus dem Weg zu räumen, kannst du es ja noch einmal explizit sagen.

Was meinst du genau, nochmal explizit sagen?

Zitat:

Original von IfindU
Aber die ganzen Fragen grenzen ja schon an Paranoia Augenzwinkern

Perfektionsdrang und Paranoia haben in der Tat verschwommene Grenzen, fürchte ich unglücklich

18.03.2024, 19:48

IfindU

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Sowas wie:
"=> Sei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine ungerade Quadratzahl. Wir zeigen nun, dass das Jacobisymbol für jede Zahl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ erfüllt... Sei also $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ beliebig."

So in der Art.

18.03.2024, 20:24

Malcang

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Mir ging es ja darum, dass meine Beweisrichtungen eigentlich genau entgegensetzt der Aussage sind.
verwirrt

18.03.2024, 20:28

Romaxx

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Zitat:

Original von IfindU
Sowas wie:
"=> Sei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine ungerade Quadratzahl. Wir zeigen nun, dass das Jacobisymbol für jede Zahl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ erfüllt... Sei also $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ beliebig."

So in der Art.

Wenn mich nicht alles täuscht, ist das die umgekehrte Richtung von der Malcang ausging:

Zitat:

Original von Malcang
Das ist in meinem Fall aber doch "WENN das Jacobisymbol... DANN istneine Quadratzahl". Oder? verwirrt

;

Ich bin aber hier bei dir IfindU. Übrigens auch hier unter Abschnitt Schreib- und Sprechweisen nachzulesen.

19.03.2024, 10:04

IfindU

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RE: [Formulierung] Genau-dann-wenn Aussage
Ich sehe das

Zitat:

als

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine ungerade ganze Zahl. Dann:
"Es ist $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine Quadratzahl" $\begin{eqnarray*} \iff \end{eqnarray*}$ " $\begin{eqnarray*} \left(\frac{a}{n}\right) \neq -1 \end{eqnarray*}$ für jede ganze Zahl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ."

Daher würde ich die "Pfeil"-Richtungen so machen. Du kannst auch schreiben

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine ungerade ganze Zahl. Dann sind äquivalent:
(i) $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist iene Quadratzahl
(ii) $\begin{eqnarray*} \left(\frac{a}{n}\right) \neq -1 \end{eqnarray*}$ für jede ganze Zahl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$

Der Beweis wäre dann eindeutig bspw. mit $\begin{eqnarray*} (i) \implies (ii) \end{eqnarray*}$ definiert.

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