Rechnen mit Potenzen

20.03.2024, 08:56	AllesHumbug	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechnen mit Potenzen Meine Frage: Hallo, folgende Aufgabe: Gegeben: $\begin{eqnarray} 16^a \cdot 9^a = 6^b \cdot 8^2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ Wie lautet die Summe von a + b Meine Ideen: Nun, ich weiß dass $\begin{eqnarray} 16^a \cdot 9^a = 144^a \end{eqnarray}$ Ferner hab ich versucht die Gleichung zu logarithmieren. Das bringt mich aber nicht weiter. Hat jemand einen Tipp ?
20.03.2024, 09:09	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechnen mit Potenzen $\begin{eqnarray} 144^a = 12^{2a} = (32^2)^{2a}= 3^{2a}2^{4a}<br /> <br /> 6^b8= 2^b3^b8= 3^b2^{b+3} \end{eqnarray}$ Vlt. hilft das weiter.
20.03.2024, 09:18	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Die letzte Zeile stimmt mehrfach nicht. Im ersten Abschnitt fehlt die Multiplikation mit 8 (bzw eigentlich sogar 8²). Im dritten Abschnitt ist es ganz durcheinander.
20.03.2024, 09:31	AllesHumbug	Auf diesen Beitrag antworten »
Macht nix, das Prinizip hab ich verstanden: Die Summe lautet 9 Danke
25.03.2024, 16:01	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die obige Exponentialgleichung (des TE) lässt sich - nach Ordnen der Basen 2 und 3 - umformen zu: $\begin{eqnarray} 2^{4a} \cdot 3^{2a} = 2^b \cdot 3^b \cdot 2^6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2^{4a - b - 6} = 3^{b - 2a} \end{eqnarray}$ Diese (letzte) Gleichung kann wegen der Verschiedenheit der Basen nur erfüllt sein, wenn beide Seiten gleich 1, also die Exponenten gleich Null sind. Daraus resultiert das System $\begin{eqnarray} (1) \ 4a - b = 6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2) \ 2a - b = 0 \end{eqnarray}$ mit den Lösungen a = 3 und b = 6, somit ist a + b = 9 Übrigens ist dies klassische Schulmathematik, wie sie im Buche steht. mY+
25.03.2024, 16:31	AllesHumbug	Auf diesen Beitrag antworten »
Schön, dass du zur selben Lösung (i.e. zu meiner oben genannten gekommenen Lösung) gekommen bist. Die Aufgabe ist aus dem türkischen (Mathe-) Abitur entonmmen, welches von Franz Lemmermeyer (dt. Mathematiker) übersetzt und als pdf hochgeladen wurde.
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25.03.2024, 17:37	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie du auf a + b = 9 gekommen bist, hast du ja nicht erläutert (auch wenn's im Buch so steht). Deswegen kam dann auch mein Lösungsweg, der vielleicht ein wenig tricky ist. mY+
27.03.2024, 15:50	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Als "tricky" würde ich ein solches Vorgehen eigentlich nicht bezeichnen: Bei ganzzahligen Exponenten heißt Gleichheit der Zahlen zwangsläufig Gleichheit der jeweiligen Primzahlexponenten für jeden Primfaktor einzeln betrachtet. Das gilt also nicht nur bei zwei Primfaktoren (wie hier 2 und 3), sondern auch bei jeder anderen Anzahl und folgt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen. Wenn wir beispielsweise abweichend zu oben $\begin{eqnarray} 2^{4a} \cdot 3^{2a}\cdot 7^{a+b} = 2^{b+6} \cdot 3^b\cdot 7^{c+2} \end{eqnarray}$ gehabt hätten, so kann man für ganze Zahlen $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ sofort $\begin{eqnarray} 4a = b+6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2a = b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a+b = c+2 \end{eqnarray}$ folgern gemäß Exponentenvergleich für die Primfaktoren 2, 3 und 7.

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