Vorhersageintervall

20.03.2024, 11:56

Cinzio22

Vorhersageintervall

Hallo zusammen

Ich habe folgendes Problem gegeben:

In einer Befragung gaben
200 von 720 Personen an, die Partei X zu wählen.

--> Bestimmen Sie ein 95%iges Konfidenzintervall für
die Wahrscheinlichkeit p der Stimmen für die
Partei X.

Die Lösung beginnt mit folgender Zeile:

p - 200/720 = +/- 1.96 * sqrt( (p*(1-p)) / 720 )

Die rechte Seite des Gleichheitszeichens macht Sinn und die verstehe ich. Aber warum muss links nicht einfach 200/720 stehen statt "p - 200/720" ?

Danke für die Auskunft! smile

20.03.2024, 14:01

klauss

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RE: Vorhersageintervall
Eigentlich sollte man sogar eher
p = 200/720 +/- 1.96 * sqrt( (p*(1-p)) / 720 )
angeben, da das Konfidenzintervall den Stichprobenanteil umschließt.
Wo möchtest Du sonst das p lassen?

Die Aufgabe sollte auch besser etwa lauten:
Bestimmen Sie ein 95%iges Konfidenzintervall für
den Anteilswert p der Stimmen für die
Partei X.

20.03.2024, 14:27

HAL 9000

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RE: Vorhersageintervall
@Cinzio22

Für das Konfidenzintervall des Binomialverteilungs-Parameter $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gibt es zahlreiche Berechnungsformeln, siehe hier

https://de.wikipedia.org/wiki/ Konfidenzintervall_f%C3%BCr_die_Erfolgswahrscheinlichkeit_der_Binomialverte
ilung .

Es gibt nun verschiedene Zugänge, die Grenzen des Konfidenzintervalls $\begin{eqnarray*} \left[p_u,p_o\right] \end{eqnarray*}$ zu berechnen, basierend auf Punktschätzung $\begin{eqnarray*} \hat{p} = \frac{200}{720} \end{eqnarray*}$ des Parameters $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ :

Basierend auf der Normalverteilungsapproximation der Binomialverteilung nähert man

$\begin{eqnarray*} p_u = \hat{p} - z_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_o = \hat{p} + z_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \end{eqnarray*}$

Aber wie wählt man das p rechts? Da gibt es wiederum mehrere Zugänge

1.Wald-Intervall: Hier setzt man für $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ rechts einfach $\begin{eqnarray*} \hat{p} \end{eqnarray*}$ ein und hat direkt die Berechnungsformeln für $\begin{eqnarray*} p_u,p_o \end{eqnarray*}$ vorliegen.

2.Wilson-Intervall: Hier setzt man den Endwert selbst ein, d.h.

$\begin{eqnarray*} p_u = \hat{p} - z_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\frac{p_u(1-p_u)}{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_o = \hat{p} + z_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\frac{p_o(1-p_o)}{n}} \end{eqnarray*}$

Das läuft im Endeffekt auf eine quadratische Gleichung zur Bestimmung von $\begin{eqnarray*} p_u,p_o \end{eqnarray*}$ hinaus, nämlich

$\begin{eqnarray*} \left(p-\hat{p}\right)^2 - z_{1-\alpha/2}^2\cdot \frac{p(1-p)}{n} = 0 \end{eqnarray*}$

mit den beiden Lösungen $\begin{eqnarray*} p_u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_o \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ .

(Noch genauer wird es, wann man die Normalverteilungsapproximation beiseite lässt und sich an die Original-Binomialverteilung hält. Nennt sich Clopper-Pearson-Intervall, aber dafür benötigt man ein CAS oder genaue Tabellen.)

Dir geht es anscheinend um 1. oder 2. Da du dich zu dem "p" rechts nicht weiter ausgelassen hast, bleibt zunächst unklar, um welche der beiden Methoden es dir geht.

20.03.2024, 15:05

klauss

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RE: Vorhersageintervall
Danke für die Klarstellung. Es dürfte um 1. gehen. Die p rechts, die nicht mit dem unbekannten p links identisch sein können, hatte ich gar nicht so im Blick.

24.03.2024, 11:37

Cinzio22

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RE: Vorhersageintervall
Danke für die Antworten!

Wir haben das hier gemacht:
[attach]57683[/attach]

Nach meinem Verständnis müsste hier doch stets dasselbe p verwendet werden, nicht?

In den Musterlösungen wird aber folgendes gemacht:

720 * (p - 200/720) +/- 1.96 * sqrt(720 * p * (1-p) ) = 0

Inwiefern deckt sich die MuLö mit dem Theorieeintrag? Also was ich immernoch nicht verstehe ist, warum einmal (p - 200/720) und einmal p verwendet wird...

Danke fürs Aufklären. smile

25.03.2024, 10:26

klauss

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RE: Vorhersageintervall
Wie ich es sehe, liefert der Skript-Ausschnitt eine Formel zur Berechnung eines Vorhersageintervalls für die Anzahl der Treffer in der Stichprobe bei bekanntem $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ .
Deine eingangs gestellte Aufgabe sucht nach einem Vorhersageintervall für den unbekannten Anteil in der Grundgesamtheit. Hierfür könnte z. B. der Vorschlag von HAL 9000 zu 1. (Wald-Intervall) verwendet werden.
Vielleicht solltest Du auch ein Bild der kompletten Musterlösung veröffentlichen, damit man die richtig überprüfen und die beiden Ansätze zusammenführen kann.

25.03.2024, 13:04

Cinzio22

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RE: Vorhersageintervall
Guter Punkt, @klauss

Hier ist die Musterlösung:

[attach]57687[/attach]

25.03.2024, 13:19

HAL 9000

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Ok, dann war doch das von mir oben (unter 2. ) schon erwähnte Wilson-Intervall gemeint.

25.03.2024, 14:08

Cinzio22

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Wenn ich euch richtig verstehe, hat das also keinen (direkten) Zusammenhang mit dem was wir im Skript gemacht haben (erster Screenshot)?

25.03.2024, 14:31

klauss

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RE: Vorhersageintervall
Aus meiner Sicht steht die Musterlösung voll im Einklang mit dem Skript, nur eben angepaßt an die modifizierte Aufgabe und den Lösungsansatz.
Warum in der Musterlösung links (p - 200/720) steht, hat wohl mindestens den sich aufdrängenden Grund, dass beim anschließenden Quadrieren eine wurzelfreie quadratische Gleichung entsteht.

@ HAL 9000: In Deinem obigen Wikipedia-Link ist ein Schreibfehler (falls Du selbst editieren magst).

25.03.2024, 14:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von klauss
@ HAL 9000: In Deinem obigen Wikipedia-Link ist ein Schreibfehler (falls Du selbst editieren magst).

Würde ich gern wenn du mir zeigst, wie das geht: Das hiesige Forum kann lange URLs nicht leiden und bricht die eigenmächtig um. unglücklich

Ja, man könnte einen Dienst in Anspruch nehmen wie tinyurl, aber für so einen Fall wie hier ist mir das zu aufwändig. Wer unbedingt den Link oben nutzen will, muss eben das Browser-URL-Feld an der offenkundigen Stelle editieren (sprich: das von Matheboard hineingemogelte <br%20/> händisch löschen).

25.03.2024, 14:48

klauss

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Zitat:

Das hiesige Forum kann lange URLs nicht leiden und bricht die eigenmächtig um.

Tatsache, ist mir bisher nie aufgefallen.
Darum müßte sich dann wohl die Administration kümmern. Einstweilen könnte man sich damit behelfen, die korrekte lange Adresse einfach nur im Klartext unterstrichen hinzuschreiben. Ist vielleicht besser, als beim Klicken eine ungültige Seite zu erhalten.

https://de.wikipedia.org/wiki/ Konfidenzintervall_für_die_Erfolgswahrscheinlichkeit_der_Binomialverteilung

25.03.2024, 22:03

Cinzio22

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RE: Vorhersageintervall
Sorry klauss wenn ich doch nochmals nachhaken muss. :/

Warum wird denn p - 200/720 gleichgesetzt mit dem Ausdruck rechts?

Oder anders gefragt: Wie würde - ausgehend vom Skript - die erste Zeile lauten (ohne dass man schon ans Quadrieren usw. denkt) ?

26.03.2024, 09:06

klauss

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RE: Vorhersageintervall
Man könnte ja auch zunächst mal in der Grundform die 200/720 nach rechts ziehen, dann stünde da in etwa

$\begin{eqnarray*} p= \hat{p}\pm z\cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \end{eqnarray*}$

Nun überlegt man sich, wie nach $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ohne Dach sinnvoll aufzulösen wäre.

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