Annahme globales Minimum

Neue Frage »

20.03.2024, 15:17	Raphael_04	Auf diesen Beitrag antworten »
Annahme globales Minimum Meine Frage: Es sei g : R ? R eine stetige Funktion, die die Abschätzung x^2 ? g(x) für alle x ? R erfüllt. Zeigen Sie, dass die Funktion g ihr globales Minimum annimmt. Das ist eine Frage, auf die ich während der Klausurvorbereitung gestoßen bin Meine Ideen: Ich kenne den Satz über Maximum und Minimum, kann in hier jedoch (noch) nicht anwenden, weil ich kein abgeschlossenes Intervall habe. Ich weiß, dass g durch die 0 nach unten beschränkt ist, insbesondere ist also die Menge g(R) nach unten beschränkt und natürlich nicht leer, besitzt also ein Infimum. Ich müsste also noch zeigen, dass das Infimum angenommen wird, das bekomme ich aber nicht hin.
20.03.2024, 15:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
besch....senes Copy+Paste $\begin{eqnarray} g:~\mathbb{R}\to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ kann man ja noch erraten. Aber ob du in der folgenden Zeile $\begin{eqnarray} x^2<g(x) \end{eqnarray}$ oder was anderes meinst, solltest du noch klarstellen. Für $\begin{eqnarray} x^2> g(x) \end{eqnarray}$ wäre die Behauptung jedenfalls falsch. EDIT: ... und schon wieder verschwunden. Erst Symbolmüll posten und dann nicht mal die Zeit haben, das gepostete durchzulesen und zumindest an der wichtigsten Stelle zu korrigieren. Nun, dann muss die Hilfe eben noch warten.
20.03.2024, 15:37	Raphael_04	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: besch....senes Copy+Paste Ich meinte natürlich $\begin{eqnarray} x^2\leq g(x) \end{eqnarray}$ . Ich habe nicht gründlich drüber gesehen, tut mir leid
20.03.2024, 15:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es hat schon seinen tieferen Sinn, dass x^2<=g(x) vorausgesetzt wird. Die Aussage gilt nicht für 0<=g(x). Ein einfaches Gegenbeispiel ist die Gaußsche Glockenkurve.
20.03.2024, 15:47	Raphael_04	Auf diesen Beitrag antworten »
Was genau willst du damit sagen? Sind meine Überlegungen falsch oder die Aussage, die ich beweisen möchte?
20.03.2024, 17:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sagtest: "Ich weiß, dass g durch die 0 nach unten beschränkt ist, insbesondere ist also die Menge g(R) nach unten beschränkt und natürlich nicht leer, besitzt also ein Infimum." Das stimmt soweit. Weiter hast du gesagt: "Ich müsste also noch zeigen, dass das Infimum angenommen wird, das bekomme ich aber nicht hin." Das Gegenbeispiel zeigt , dass du auf diesem Weg nicht zum Ziel kommen kannst. Du musst also irgendwo die Voraussetzung benutzen, dass x^2<=g(x) ist. Tipp: Betrachte y=g(x) im Streifen $\begin{eqnarray} \{y\in R \| [inf(g(R)), inf(g(R))+1]\} \end{eqnarray}$ (die 1 ist willkürlich gewählt, aber größer als 0). Dort liegt der Graph in einem Rechteck, und darin liegt ein Intervall, das du dir gewünscht hast.
Anzeige

20.03.2024, 18:09	Raphael_04	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe wieder längere Zeit nachgedacht, aber irgendwie hilft mir das nicht weiter. Ich habe nicht mal einen wirklich aussichtsreichen Ansatz glaube ich. Ich habe ja die Menge $\begin{eqnarray} M= \{g(x): g(x) \in [y_0,y_0+1]\} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} y_0 \end{eqnarray}$ das Supremum der Menge $\begin{eqnarray} g(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ ist. Ich weiß, dass es in dem Intervall Bilder der Funktion geben muss, ansonsten wäre $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ nicht stetig. Viel mehr als das ist dabei aber nicht herumgekommen, alles andere was ich noch so probiert habe, ist gescheitert und vor allem bekomme ich die Bedingung $\begin{eqnarray} x^2\leq g(x) \end{eqnarray}$ nirgends unter.
20.03.2024, 19:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das x-Intervall links und rechts vom Infimum kann sich nur soweit erstrecken, bis es die Normalparabel trifft. Damit ist es ein kompaktes Intervall, außerhalb dieses Intervalls ist g(x)>infimum+1. (so ungefähr, mach dir eine Skizze und formuliere die Details)
20.03.2024, 20:33	Raphael_04	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es immer noch nicht ganz hinbekommen, hier ist das, was ich bereits habe: Sei $\begin{eqnarray} y_o \end{eqnarray}$ das Infimum von $\begin{eqnarray} g(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ . Wähle $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_2 \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} y_1\leq y_0\leq y_2 \end{eqnarray}$ und sodass es $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} x_1^2=y_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2^2=y_2 \end{eqnarray}$ . Jetzt meinst du, dass ich was mit dem Intervall $\begin{eqnarray} I=[x_1, x_2] \end{eqnarray}$ anfangen kann, oder? Bisher ist nämlich alles an Abschätzungen gescheitert, welche ich damit gemacht habe. Ich könnte zwar jetzt sagen, dass $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ ihr Minimum annimmt, das hat mich jedoch keinen Schritt weiter gebracht, da ich nicht weiß, ob es auch das globale Minimum ist. Ich habe ein wenig das Gefühl mich bei der Aufgabe verrannt zu haben und den "Trick" zu übersehen.
20.03.2024, 21:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Vorgehensweise ist mir zu formal. Mach mal eine Skizze, dann kommen die guten Ideen und Ansätze ganz von selbst. Zeichne die Normalparabel so wie in der Schule und versuche darüber eine stetige Funktion ohne Minimum einzuzeichnen, dann siehst du, warum das nicht geht. Wie daraus ein formaler Beweis wird habe ich schon skizziert.
20.03.2024, 22:49	Raphael_04	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, das ist ja gerade mein Problem. Ich habe eine Skizze e schon von Anfang an, aber ich bekomme es nicht hin, den Beweis sauber aufzuschreiben. Intuitiv ist mir die Aussage eigentlich klar, ich habe die Aufgabenstellung gelesen und mir gedacht "logisch", aber das in einen formalen Beweis umzumünzen will einfach nicht funktionieren, bis jetzt auch noch nicht mit deiner Hilfe.
21.03.2024, 06:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gerade y=inf(g(R))+1 schneidet die Normalparabel in 2 Punkten und legt damit ein kompaktes Intervall I fest, außerhalb dessen g groesser als y ist. Nach dem Satz vom Minimum nimmt g ein Minimum auf I an. qed.
23.03.2024, 19:46	Raphael_04	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Bemühungen, ich habe es jetzt verstanden und nachvollziehen können.

Neue Frage »

Antworten »

Annahme globales Minimum

Verwandte Themen