Komposition von Abbildungen und ihre Eigenschaften

23.03.2024, 15:10

SIGGI***314

Komposition von Abbildungen und ihre Eigenschaften

Meine Frage:
Die Aufgabe ist: Geben Sie ein Beispiel für Mengen X, Y, Z und Abbildungen f : X ? Y und g :
Y ? Z, so dass g ? f surjektiv und f nicht surjektiv ist.

Meine Ideen:
Ich bin der Meinung das es eine solches Besipiel nicht geben kann, meine Überlegungen dazu sind: Die Komposition ist so definiert, dass der Wertebereich von f dem Definitionsbereich von g entsprechen muss und f und g Abbildungen sein müssen. Wenn f jedoch nicht surjektiv ist, dann gilt, dass es ein y Element von Y gibt,
sodass für alle x Element X gilt f(x) ist nicht y. Wenn der Wertebereich von f aber gleich dem Definitionsbereich von g entsprechen muss, entsteht ein Widerspruch, dass g eine Abbildung ist, denn dann widerspricht dies der Voraussetzung der Abbildung g, dass es für alle y Element Y ein z Element Z gibt mit g(y) = z.

Wäre nett, wenn mir jemand meinen Irrtum meiner Argumentation aufzeigen könnte, danke Vorab.

23.03.2024, 15:23

SIGI3141592

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RE: Komposition von Abbildungen und ihre Eigenschaften
PS: Ist meine Frage habe den alten Account wieder aktiviert Wink

23.03.2024, 16:43

Helferlein

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RE: Komposition von Abbildungen und ihre Eigenschaften

Zitat:

Original von SIGGI***314
Die Komposition ist so definiert, dass der Wertebereich von f dem Definitionsbereich von g entsprechen muss.

Das ist falsch. Im Allgemeinen muss die Wertemenge nur eine Teilmenge der Definitionsmenge von g sein.
Laut Aufgabenstellung stimmt die Zielmenge von f mit der Definitionsmenge von g überein. Über die Wertemenge wird nichts gesagt.

23.03.2024, 16:47

Romaxx

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$\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ kann auch dann eine Funktion sein, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Funktion ist, aber nicht surjektiv.

$\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ bildet einfach nur die Elemente weiter ab, die es von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bekommt.

Daher muss bei Betrachtung $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ nicht unbedingt $\begin{eqnarray*} f(X)=Y \end{eqnarray*}$ sein.

23.03.2024, 17:08

SIGI3141592

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RE: Komposition von Abbildungen und ihre Eigenschaften
Ok vielen Dank für die Hilfe hab es jetzt verstanden

23.03.2024, 17:19

SIGI3141592

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Die Aussage aus meinem Sktipt: "Anders als Sie es vielleicht von der Schule gewohnt sind, gilt: Um g verknüpft mit f
bilden zu können, muss der Wertebereich von f gleich dem Definitionsbereich von
g sein."

Diese Aussage ist dann falsch oder ?

23.03.2024, 17:41

Romaxx

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Zitat:

Original von SIGI3141592
Die Aussage aus meinem Sktipt: "Anders als Sie es vielleicht von der Schule gewohnt sind, gilt: Um g verknüpft mit f
bilden zu können, muss der Wertebereich von f gleich dem Definitionsbereich von
g sein."

Diese Aussage ist dann falsch oder ?

Die Komposition $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ ist meist definiert als:

$\begin{eqnarray*} g\circ f:X\to Z, x\mapsto g(f(x)) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f:X\to Y, g:Y\to Z \end{eqnarray*}$ Funktionen.

Hier benötigt man nicht, dass $\begin{eqnarray*} f(X)=Y \end{eqnarray*}$ .

Scan doch bitte deinen Skript an besagter Definition eurer Komposition ein und stelle ihn hier rein. Würde mich wundern, wenn dies in der Definition der Komposition so verlangt wird.

23.03.2024, 18:37

SIGI3141592

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Skript Definition
Anbei der Auszug aus dem Skript

23.03.2024, 18:48

Romaxx

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Danke.

Jetzt kommt es noch darauf an, wie ihr Wertebereich definiert habt.

Unter Link, Abschnitt "Zusammenhang zwischen den Mengen" wird beschrieben, dass Wertebereich uneindeutig verwendet wird. Entweder Zielmenge oder Bildmenge. Wenn damit Bildmenge gemeint ist, ist die "Warnung" falsch, wenn Zielmenge gemeint ist, sehe ich keine Probleme.

23.03.2024, 19:20

SIGI3141592

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Mit dem Wertebereich ist die Zielmenge gemeint

23.03.2024, 19:25

Romaxx

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Dann weißt du jetzt, dass deine Einschränkung auf Bildmenge falsch war, und die Aufgabe ist lösbar.

23.03.2024, 19:28

SIGI3141592

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Ja, das weiß ich jetzt, danke dir/ euch Freude