Reihe über sin(n)

24.03.2024, 20:36

Malcang

Reihe über sin(n)

Huhu

Ich frage mich, wie man $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\sin(n) \end{eqnarray*}$ wohl berechnen könnte.
Nach Wolframalpha weiß ich, dass sie divergiert.
Mit einem Skript in python habe ich außerdem herausgefunden, dass die Partialsummen -so scheint es- ebenfalls periodisch sind.
Aber ich finde keinen Ansatz, wie ich das beweisen kann.

Könnt ihr mir auf die Sprünge helfen?

24.03.2024, 22:01

Romaxx

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Stichwort: Lagrange's Trigonometric Identities Link

Das zeigt die Periodizität der Partialsumme.

25.03.2024, 10:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von Romaxx
Das zeigt die Periodizität der Partialsumme.

$\begin{eqnarray*} s_k = \sum_{n=0}^k \sin\left(n\right) = \frac{\cos\left(\frac{1}{2}\right)-\cos\left(k+\frac{1}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{1}{2}\right)} \end{eqnarray*}$ ist keineswegs periodisch in $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ - tatsächlich kommt kein Folgenwert mehrfach in der Folge vor. Was man allenfalls sagen kann ist, dass die Partialsummen beschränkt bleiben durch

$\begin{eqnarray*} \frac{\cos\left(\frac{1}{2}\right)-1}{2\sin\left(\frac{1}{2}\right)} < s_k < \frac{\cos\left(\frac{1}{2}\right)+1}{2\sin\left(\frac{1}{2}\right)} \end{eqnarray*}$ ,

und die Folgenwerte in eben jenem Intervall $\begin{eqnarray*} \left[ \frac{\cos\left(\frac{1}{2}\right)-1}{2\sin\left(\frac{1}{2}\right)} , \frac{\cos\left(\frac{1}{2}\right)+1}{2\sin\left(\frac{1}{2}\right)}\right] \end{eqnarray*}$ sogar dicht liegen.

25.03.2024, 13:59

Romaxx

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Romaxx
Das zeigt die Periodizität der Partialsumme.

Das ist richtig, es kommt kein Folgenwert $\begin{eqnarray*} s_k \end{eqnarray*}$ mehrfach vor und per Definition ist das streng genommen daher nicht periodisch.

Dennoch verhält sich die Partialsumme ungefähr wie $\begin{eqnarray*} -\text{cos}(k+ \frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$ . Etwas skaliert und im Offset verschoben, und auch wenn nicht Folgenglieder wiederholt auftreten, würde ich das als im weiteren Sinne periodisch nennen, denn diese Funktion ist in $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ eine periodische Funktion.

Darauf habe ich mich in erster Linie bezogen.

25.03.2024, 14:08

HAL 9000

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"Periodizität einer Folge" ist klar definiert: Dazu muss es eine ganze Zahl $\begin{eqnarray*} T>0 \end{eqnarray*}$ geben, so dass $\begin{eqnarray*} s_{k+T} = s_k \end{eqnarray*}$ für alle Indizes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gilt.

Ein solches $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ (die Periodendauer) gibt es hier nicht, damit kann man hier nicht von Periodizität sprechen - nicht mal annähernd. Die Tatsache, dass man $\begin{eqnarray*} s_k = f(k) \end{eqnarray*}$ mit einer $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodischen Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ schreiben kann, rechtfertigt in keinster Weise die "Rückübertragung" dieses Begriffs auf die Folge.

25.03.2024, 14:14

Romaxx

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Ganz klar HAL 9000, da gebe ich dir ja Recht.

Ich habe dir in meinem vorherigen Post gesagt, warum ich es im weiteren Sinne periodisch nennen würde. Da musst du mir auch nicht zustimmen.

25.03.2024, 14:17

HAL 9000

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Anders sieht es aus bei der Partialsummenfolge

$\begin{eqnarray*} s_k = \sum_{n=0}^k \sin\left(n\cdot 1^{\circ} \right) = \frac{\cos\left(0.5^{\circ}\right)-\cos\left(k\cdot 1^{\circ}+0.5^{\circ}\right)}{2\sin\left(0.5^{\circ}\right)} \end{eqnarray*}$ ,

d.h., wenn man gewissermaßen den TR auf DEG stellt und die Sinuswerte der Winkel ganzzahligen Gradmaßes aufaddiert: Hier liegt eine Periodizität mit Dauer $\begin{eqnarray*} T=360 \end{eqnarray*}$ vor.

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So wie ich es sehe, findet man für jede Folge $\begin{eqnarray*} (s_k) \end{eqnarray*}$ sowie jede positive irrationale Zahl $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ -periodische Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} s_k=f(k) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} s_k &\mbox{ falls }k\in\mathbb{N}_0,m\in\mathbb{Z}\mbox{ existieren mit }k=x+m\alpha\\ 0 &\mbox{ sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Wenn man zusätzlich fordert " $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ soll stetig sein", wird es zugegeben schwierig. Jedenfalls ist damit einiges zu tun, um den Begriff "im weiteren Sinn periodisch" sauber zu definieren. Teufel

26.03.2024, 22:00

Malcang

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Hallo ihr zwei!

Vielen Dank für euer Feedback, da ist einiges das ich nacharbeiten werde smile

27.03.2024, 09:02

HAL 9000

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Jene Partialsummenformeln "Lagrange's Trigonometric Identities" sind übrigens leicht nachzuweisen, sie folgen unmittelbar durch Betrachtung von Real- und Imaginärteil von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n e^{i\theta k} = \frac{e^{i\theta (n+1)}-1}{e^{i\theta}-1} \end{eqnarray*}$ , was sich aus der Partialsummenformel der geometrischen Reihe ergibt - natürlich nur dann, wenn $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ kein ganzzahliges Vielfaches von $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ ist.

27.03.2024, 09:41

Romaxx

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@Malcang

Unter dem von mir angegebene Link wird der Beweis mit einem bekannten Additionstheorem geführt. Durch das Ersetzen ergibt sich eine Teleskopsumme und dadurch durch Aufsummieren und mit etwas äquivalent Umformen die beschriebene Identität.

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