Limes berechnen

02.04.2024, 10:17	Obnoxious	Auf diesen Beitrag antworten »
Limes berechnen Meine Frage: Zu berechnen (ohne L'Hôspital): $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos2x - \cos x}{x} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Meine Lösung: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos2x}{x} - \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{x} = 0 - 0 = 0 \end{eqnarray}$ Wieso ist das falsch ?
02.04.2024, 10:42	tennis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die einzelnen Bruchterme streben für x gegen Null nicht gegen Null. Der Zählerterm nähert sich dem Wert 1, der Nennerterm dem Wert Null. Was passiert mit bei einem Bruch, wenn die Werte im Nenner immer kleiner bzw. beliebig klein werden ?
02.04.2024, 10:44	G020424	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Limes berechnen Wie kommst du auf 0-0? Das ist eine unbewiesene Behauptung.
02.04.2024, 10:46	Obnoxious	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, stimmt. Fiel mir 3 Minuten, nachdem ich es hier geschrieben hatte, auch auf. Danke für's Feedback. <3
02.04.2024, 10:48	Obnoxious	Auf diesen Beitrag antworten »
Edit: Bei meiner Lösung steht unendlich - unendlich = undefinierter Ausdruck
02.04.2024, 12:28	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Unter Nutzung von $\begin{eqnarray} \lim_{t\to 0} \frac{\sin(t)}{t} = 1 \end{eqnarray}$ kann man für alle $\begin{eqnarray} a\neq 0 \end{eqnarray}$ folgende Nebenrechnung anstellen: $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(ax)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^2(ax)}{t(1+\cos(ax))} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin^2(ax)}{x(1+\cos(ax))} = \lim_{x\to 0} \left( \frac{\sin(ax)}{ax} \right)^2\cdot \frac{a^2x}{1+\cos(ax)} = 1^2\cdot a^2\cdot \frac{0}{2} = 0\qquad () \end{eqnarray}$ Der gesuchte Grenzwert folgt via $\begin{eqnarray} \frac{\cos(2x)-\cos(x)}{x} = \frac{1-\cos(x)}{x} - \frac{1-\cos(2x)}{x} \end{eqnarray}$ mit () für a=1 bzw. a=2. ------------------------------------------------ Etwas genauer könnte man für das Verhalten für $\begin{eqnarray} x\to 0 \end{eqnarray}$ die obige Rechnung so adaptieren: $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(ax)}{x^2} = \frac{a^2}{2}\qquad () \end{eqnarray}$ , und damit folgt $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0} \frac{\cos(2x)-\cos(x)}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2} - \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(2x)}{x^2} = \frac{1}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{3}{2} \end{eqnarray}$ .
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02.04.2024, 13:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann sich auf den Differenzenquotienten der Funktion $\begin{align} f(x) = \cos(2x) - \cos(x) \end{align}$ an der Stelle 0 berufen: $\begin{align} \lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x) - \cos(x)}{x} = \left. \left( \frac{\dd}{\dd x} \left( \cos(2x) - \cos(x) \right) \right) \right\|_{\ x=0} = \left. \left( -2 \sin(2x) + \sin(x) \right) \, \right\|_{\ x=0} = 0 \end{align}$ Wenn man das nicht will, kann man so wie HAL vorgehen. Sein Parameter $\begin{align} a \end{align}$ verallgemeinert die Situation. Im konkreten Fall könnte man aber auch eine trigonometrische Umformung vornehmen: $\begin{align} \frac{\cos(2x) - \cos(x)}{x} = \frac{2 \cos^2(x) - 1 - \cos(x)}{x} = \frac{\left( 2 \cos(x) + 1 \right) \left( \cos(x) - 1 \right)}{x} \end{align}$ Jetzt geht es weiter wie bei HAL durch Erweitern mit $\begin{align} \cos(x) + 1 \end{align}$ .
02.04.2024, 15:27	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Limes berechnen Berechnungsmöglichkeit aller obigen Grenzwerte über Taylorreihe sollte dann auch nicht unerwähnt bleiben.

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