Zeigen, dass es keine Gruppe gibt, die die Vereinigung zweier Untergruppen ist

Neue Frage »

tawma Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass es keine Gruppe gibt, die die Vereinigung zweier Untergruppen ist
Meine Frage:
Zeigen sie, dass es keine Gruppe gibt, die die Vereinigung zweier Untergruppen ist.



Meine Ideen:
Weiß nicht wie ich die Aufgabe angehen soll.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Sei Gruppe. Weiter sei Untergruppe von (zum Beispiel ) und die Untergruppe, die nur aus dem neutralen Element besteht. Dann gilt:

ist Gruppe.

Was lehrt uns das?

Bitte die Aufgabe vollständig formulieren.
tawma Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hat es wohl Relevanz, dass in der Angabe steht, "zweier echter Untergruppen".

Dann würde es nicht klappen, oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Klappt doch, zum Beispiel in der zyklischen Gruppe der Ordnung 8. und .
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Klappt doch, zum Beispiel in der zyklischen Gruppe der Ordnung 8. und .


Es soll sich aber in der Vereinigung die gesamte Gruppe, nicht bloß irgendeine Gruppe ergeben.


@ tawma

Ja, das hat Relevanz. Nehmen wir also zwei echte Untergruppen der Gruppe . Wäre nun eine dieser Untergruppen eine Untergruppe der andern (wie in Elvis' Beispiel), etwa , dann wäre .
Man darf daher davon ausgehen, daß existieren mit und . Was könnte man nun aus und basteln? Wie kommt man zu einem Widerspruch zur Annahme ?
tawma Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte ein uv basteln das die Annahme widerlegt, oder?
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und welche Annahme widerlegt dieses ? Und warum widerlegt es diese?
tawma Auf diesen Beitrag antworten »

Naja uv kann ja in G liegen aber es kann nicht in U oder V liegen. Wenn es nicht in einem der beiden liegt, dann kann ihre Vereinigung auch nicht G erzeugen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und warum kann nicht in und nicht in liegen?
tawma Auf diesen Beitrag antworten »

Weil u kein Element in V ist und v kein Element in U. verwirrt
Wenn man dann uv erzeugt hat das einen fremden Anteil für egal welche der beiden Mengen.
Weiß nicht wie ich das förmlicher Ausdrücken könnte
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Mit einer Widerspruchsargumentation: Angenommen, läge in . Jetzt braucht man, daß in einer Gruppe jedes Element ein inverses Element besitzt. Löse daher nach auf. Wie geht es dann weiter?
tawma Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, Leopold aber ich weiß nicht worauf du genau hinaus willst.
Aber danke, dass du mich zwingst meine Gedanken zu formulieren. Das zeigt mir, dass ich mich nicht gut genug auskenne Hammer
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will darauf hinaus:

Wir haben bereits diese und in den beiden Untergruppen, die nicht in der jeweils anderen Untergruppe liegen. Wäre nun , müßte in einer der beiden Untergruppen liegen. Läge es nun in , also mit , so folgte (Abgeschlossenheit von ). Aber sollte doch gerade nicht in liegen. Widerspruch! (Denn daß in läge, könnte man ebenso zum Widerspruch führen.)
tawma Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau ergibt Sinn. DANKE FÜR DEINE ZEIT. Das schätze ich sehr.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne. Schönen Abend und schönen Sonntag.

Sei übrigens vorsichtiger mit der Verwendung des Verbs "erzeugen", da das in der Gruppenlehre eine bestimmte Bedeutung hat. Sag einfach, .

EDIT
Schreibfehler korrigiert
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »