Zeigen, dass es keine Gruppe gibt, die die Vereinigung zweier Untergruppen ist

06.04.2024, 16:01

tawma

Zeigen, dass es keine Gruppe gibt, die die Vereinigung zweier Untergruppen ist

Meine Frage:
Zeigen sie, dass es keine Gruppe gibt, die die Vereinigung zweier Untergruppen ist.

Meine Ideen:
Weiß nicht wie ich die Aufgabe angehen soll.

06.04.2024, 17:23

Leopold

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Sei $\begin{align*} G \end{align*}$ Gruppe. Weiter sei $\begin{align*} U \end{align*}$ Untergruppe von $\begin{align*} G \end{align*}$ (zum Beispiel $\begin{align*} U=G \end{align*}$ ) und $\begin{align*} V = \{e\} \end{align*}$ die Untergruppe, die nur aus dem neutralen Element $\begin{align*} e \end{align*}$ besteht. Dann gilt:

$\begin{align*} U \cup V = U \end{align*}$ ist Gruppe.

Was lehrt uns das?

Bitte die Aufgabe vollständig formulieren.

06.04.2024, 17:31

tawma

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Dann hat es wohl Relevanz, dass in der Angabe steht, "zweier echter Untergruppen".

Dann würde es nicht klappen, oder?

06.04.2024, 18:31

Elvis

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Klappt doch, zum Beispiel in der zyklischen Gruppe der Ordnung 8. $\begin{eqnarray*} 1<C_2<C_4<C_8 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_4=C_2\cup C_4 \end{eqnarray*}$ .

06.04.2024, 18:43

Leopold

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Zitat:

Original von Elvis
Klappt doch, zum Beispiel in der zyklischen Gruppe der Ordnung 8. $\begin{eqnarray*} 1<C_2<C_4<C_8 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_4=C_2\cup C_4 \end{eqnarray*}$ .

Es soll sich aber in der Vereinigung die gesamte Gruppe, nicht bloß irgendeine Gruppe ergeben.

@ tawma

Ja, das hat Relevanz. Nehmen wir also zwei echte Untergruppen $\begin{align*} U,V \end{align*}$ der Gruppe $\begin{align*} G \end{align*}$ . Wäre nun eine dieser Untergruppen eine Untergruppe der andern (wie in Elvis' Beispiel), etwa $\begin{align*} U \subseteq V \end{align*}$ , dann wäre $\begin{align*} U \cup V = V \neq G \end{align*}$ .
Man darf daher davon ausgehen, daß $\begin{align*} u,v \end{align*}$ existieren mit $\begin{align*} u \in U, u \not \in V \end{align*}$ und $\begin{align*} v \in V, v \not \in U \end{align*}$ . Was könnte man nun aus $\begin{align*} u \end{align*}$ und $\begin{align*} v \end{align*}$ basteln? Wie kommt man zu einem Widerspruch zur Annahme $\begin{align*} U \cup V = G \end{align*}$ ?

06.04.2024, 18:48

tawma

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Man könnte ein uv basteln das die Annahme widerlegt, oder?

06.04.2024, 18:50

Leopold

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Und welche Annahme widerlegt dieses $\begin{align*} uv \end{align*}$ ? Und warum widerlegt es diese?

06.04.2024, 18:57

tawma

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Naja uv kann ja in G liegen aber es kann nicht in U oder V liegen. Wenn es nicht in einem der beiden liegt, dann kann ihre Vereinigung auch nicht G erzeugen.

06.04.2024, 18:59

Leopold

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Und warum kann $\begin{align*} uv \end{align*}$ nicht in $\begin{align*} U \end{align*}$ und nicht in $\begin{align*} V \end{align*}$ liegen?

06.04.2024, 19:08

tawma

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Weil u kein Element in V ist und v kein Element in U. verwirrt

Wenn man dann uv erzeugt hat das einen fremden Anteil für egal welche der beiden Mengen.
Weiß nicht wie ich das förmlicher Ausdrücken könnte

06.04.2024, 19:11

Leopold

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Mit einer Widerspruchsargumentation: Angenommen, $\begin{align*} uv=u' \end{align*}$ läge in $\begin{align*} U \end{align*}$ . Jetzt braucht man, daß in einer Gruppe jedes Element ein inverses Element besitzt. Löse daher nach $\begin{align*} v \end{align*}$ auf. Wie geht es dann weiter?

06.04.2024, 19:25

tawma

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Sorry, Leopold aber ich weiß nicht worauf du genau hinaus willst.
Aber danke, dass du mich zwingst meine Gedanken zu formulieren. Das zeigt mir, dass ich mich nicht gut genug auskenne Hammer

06.04.2024, 19:32

Leopold

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Ich will darauf hinaus:

Wir haben bereits diese $\begin{align*} u \end{align*}$ und $\begin{align*} v \end{align*}$ in den beiden Untergruppen, die nicht in der jeweils anderen Untergruppe liegen. Wäre nun $\begin{align*} U \cup V = G \end{align*}$ , müßte $\begin{align*} uv \end{align*}$ in einer der beiden Untergruppen $\begin{align*} U, V \end{align*}$ liegen. Läge es nun in $\begin{align*} U \end{align*}$ , also $\begin{align*} uv = u' \end{align*}$ mit $\begin{align*} u' \in U \end{align*}$ , so folgte $\begin{align*} v = u^{-1}u' \in U \end{align*}$ (Abgeschlossenheit von $\begin{align*} U \end{align*}$ ). Aber $\begin{align*} v \end{align*}$ sollte doch gerade nicht in $\begin{align*} U \end{align*}$ liegen. Widerspruch! (Denn daß $\begin{align*} uv \end{align*}$ in $\begin{align*} V \end{align*}$ läge, könnte man ebenso zum Widerspruch führen.)

06.04.2024, 19:35

tawma

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Ja, genau ergibt Sinn. DANKE FÜR DEINE ZEIT. Das schätze ich sehr.

06.04.2024, 19:36

Leopold

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Gerne. Schönen Abend und schönen Sonntag.

Sei übrigens vorsichtiger mit der Verwendung des Verbs "erzeugen", da das in der Gruppenlehre eine bestimmte Bedeutung hat. Sag einfach, $\begin{align*} U \cup V \neq G \end{align*}$ .

EDIT
Schreibfehler korrigiert

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