Summe über Produkt

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Huldrich Auf diesen Beitrag antworten »
Summe über Produkt
Ich möchte die rekursive Funktion mit Mathematica berechnen, wobei und . Die b sind im voraus berechnete Zahlenwerte einer Binomialverteilung. Da d=9 und der maximale Wert von v mindestens 10 ist, muss die Funktion sehr schnell sein. Dafür habe ich eine numerische Lösung in Mathematica gefunden. Die ist zwar schnell, aber nicht schnell genug, weil sie sehr oft berechnet wird. Ich frage mich, ob es nicht eine analytische Formel dafür gibt. Kann mir jemand weiterhelfen?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe über Produkt
Ohne spezielle Struktur bei und/oder sehr kleinem sehe ich da wenig Hoffnung.

Der letzte Summand ist , was etwa 400 Millionen entspricht. Und eine Partition von in 400 Millionen Summanden zu zerlegen liefert kombinatorisch eine unbegreifbare Zahl. Bei sind wir bei 1 Möglichkeit (trivial). Bei sind wir bei den 400 Millionen (maschinell machbar). Bei sind wir schon bei Möglichkeiten (unmöglich).

Edit: Ich habe jetzt gesehen, dass in der Rekursion auch etwa sein wird... Also ist es unmöglich numerisch zu berechnen. Ich habe keinen Zweifel, dass du mehr Summanden als Teilchen im Universum hast. Um vermutlich Größen von Größenordnungen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huldrich
Die b sind im voraus berechnete Zahlenwerte einer Binomialverteilung.

Bitte etwas genauer ausführen - denn dann ist evtl. doch noch was machbar.
Huldrich Auf diesen Beitrag antworten »

Die b(i) sind die Wahrscheinlichkeiten, dass eine Frau i Töchter zur Welt bringt, die das Reproduktionsalter erreichen, mit anderen Worten, die "fertility rate" einer sozialen Gruppe. Das sind Werte, die ich aufgrund von empirischen Daten über "hunter-gatherers" berechnet habe (Bentley et al., The Fertility of Agricultural and Non-Agricultural Traditional Societies, 1993).

b={0.0349772795829,
0.135306548681,
0.239901546658,
0.257788378696,
0.18698096429,
0.0964426021648,
0.0362716449247,
0.010022406276,
0.00201931263616,
0.000289316089764}

wobei b(0)=0.0349772795829 usw.

Q(v, s) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die v-te Generation s Töchter hat, wissend dass eine einzige Urmutter vorhanden war (0-te Generation).
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann wird es nichts - außerdem hatte ich beim ersten Durchlesen die obere Schranke für die Indizes noch nicht wahrgenommen. Ich hatte gehofft, dass diese Formulierung sowas bedeutet wie die Binomialwahrscheinlichkeit . Denn dann wäre einfach ohne Schranke (bzw. mit ) ja



gewesen... so einfach geht es hier leider nicht zu.


Was du natürlich tun kannst ist, deine rekursiv vorberechnen:

Denn es ist (zumindest für ) und für iterativ . Sinnvoll sind bei festem ja eh nur Werte , in deinem Fall kann man die Werte auch für vergleichsweise hohe noch vorberechnen.

Dein und damit sieht allerdings schon exorbitant groß aus, sowohl was Rechenzeit als auch letztendlich RAM-Bedarf betrifft.

Außerdem: Muss das wirklich sein, stets bis vollständig auszurechnen? Die Wahrscheinlichkeiten dort oben werden doch verschwindend klein, so dass die in der Endabrechnung der -Summe eh numerisch rausfallen. Du solltest dir daher Gedanken machen über ein vernünftiges "Abschneiden" der Summe, weil die meisten Berechnungen im hohen -Bereich eh für die Katz sind.
Huldrich Auf diesen Beitrag antworten »

Die b kann ich so anpassen, dass sie haargenau einer Binomialverteilung entsprechen. Die empirischen Werte sind ja auch approximativ, da sie auf einem eher kleinen Sampling basieren. Es geht lediglich darum, dass sie eine "Glocke" formen, d.h. keine uniforme Verteilung sind. Die b, die ich oben angegeben habe, sind nicht genau eine Binomialverteilung, weil ich sie von d=12 auf d=9 gekürzt und dann neu normalisiert habe. Somit kann ich gut gebrauchen. Vielen Dank dafür.

Schade, dass die Rekursivformel nur richtig ist für s die gleich kleiner als d sind. Die wäre wahrscheinlich noch schneller gewesen.

Du hast natürlich recht, dass , womit (aufgerundet) wäre. Dies trägt sicher zur Beschleunigung bei.

Was das Abschneiden der Summe anbelangt, muss ich mir überlegen.

Aber was ich eigentlich brauche, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die v-te Generation überlebt, mit anderen Worten, . Das braucht dann noch viel mehr Ressourcen. Wahrscheinlich muss ich das Ganze numerisch berechnen. Die analytische Lösung habe ich erarbeitet, weil ich angenommen habe, dass sie schneller sein wird...
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huldrich
Aber was ich eigentlich brauche, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die v-te Generation überlebt, mit anderen Worten, .

Oder noch kürzer geschrieben .
Huldrich Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Oder noch kürzer geschrieben .

Nein, das stimmt so nicht ganz. In der Tat ist mit der Wahrscheinlichkeit, dass die i-te Generation ausstirbt. Aber frag mich nicht, warum das so ist. Vorläufig gebe ich mich damit zufrieden, dass es nur so mit dem numerischen Resultat übereinstimmt. Muss mir dann noch überlegen, warum das so ist...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huldrich
Nein, das stimmt so nicht ganz.

Was bitte stimmt daran nicht? verwirrt

soll doch - laut deinem Bekunden - die Wahrscheinlichkeit sein, dass in Generation genau Individuen sind. Und die möglichen Werte, die annehmen kann, sind . Damit ist und somit

.
Huldrich Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe am Anfang auch so überlegt, aber dann festgestellt, dass es eben nicht so ist, weil es mit dem Algo nicht übereinstimmt, falls dieser richtig ist. Sollte eigentlich schon, weil er viel einfacher ist als die analytische Lösung. Ich kann dir im Moment keine Antwort geben, da ich keine habe. Ich muss das Ganze jetzt austesten. Ich komme dann darauf zurück oder gebe dir einen Link zum Artikel, wenn er fertig ist.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt hier kein "eigentlich". Wenn tatsächlich die Wahrscheinlichkeit sein, dass in Generation genau Individuen sind, dann gibt es an meiner Feststellung aus dem letzten Beitrag nichts zu rütteln. Es kann aber natürlich sein, dass dir bei der Bestimmungsformel der ein Fehler unterlaufen ist (auch wenn ich jetzt keinen sehe), bzw. dann evtl. auch an deren algorithmischer Umsetzung.

Zitat:
Original von Huldrich
Sollte eigentlich schon, weil er viel einfacher ist als die analytische Lösung.

Ich sehe jetzt nicht, was "viel einfacher" sein soll. ist ja leider auch nicht im Handumdrehen berechenbar, greift in der Rekursion ja insbesondere auf alle für zurück:

Huldrich Auf diesen Beitrag antworten »

Falls sich jemand für das Thema interessiert, ich habe meinen Artikel über Monogenesis fertig.
Huldrich Auf diesen Beitrag antworten »

Der Link oben scheint nicht zu funktionieren. Zweiter Versuch.
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