Urnenmodell

08.04.2024, 19:40	Cinzio22	Auf diesen Beitrag antworten »
Urnenmodell Hallo zusammen Ich habe folgende Situation gegeben: 1 grüne, 2 schwarze und 3 gelbe Kugeln, die nur in ihrer Farbe unterscheidbar sind. Gerne würde ich meine Resultate "cross-controlen" lassen bzw. offene Fragen klären. 1.) Wie viele Anordnungen gibt es, bei welchen alle schwarzen Kugeln nebeneinander sein sollen? --> 20 2.) Aus der Urne werden mit Zurücklegen 3 Kugeln entnommen. p(2 schwarze und 1 gelbe Kugel) = ? --> 2/6 * 2/6 * 3/6 = 1/18 3.) Aus der Urne werden mit Zurücklegen 10 Kugeln entnommen. p(mind. 2 grüne) = ? --> 1 - (5/6)^10 - binomial(10, 1) * (1/6) * (5/6)^9 = 0.5155 4.) Aus der Urne werden ohne Zurücklegen 3 Kugeln entnommen. p(mind. 2 gelbe) = ? --> 1 - (3/6 * 2/6 * 1/6) - (3/6 * 3/6 * 2/6)3 = 13/18 5.) Aus der Urne werden ohne Zurücklegen 2 Kugeln entnommen. Sind beide schwarz, gibt es EUR 16. Ist eine Kugel schwarz und eine grün, gibt es 4 EUR. In allen anderen Fällen muss ich 3 EUR bezahlen. Zeige: a) das Spiel ist unfair. b) Wie hoch darf die Spielgebühr sein, damit es sich um ein faires Spiel handelt? --> a) 2/6 1/6 * 16 + 2/6 * 1/6 * 4 + (1 - 1/9) * (-3) = -1.55 --> unfair --> b) 1.25 Was meint ihr zu meinen Resultaten? Können die stimmen, oder was würdet ihr ändern?
09.04.2024, 04:44	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Urnenmodell 1) ss xxxx, xssxxx, xxssxx, xxxssx, xxxxss x= nicht schwarz 2. Reihenfolge nicht vergessen, (3über2) 3. oder: P(X>=2) = P(X=2)+P(X=3) 4. 1- (3/63/52/4) - 3/63/52/4*3 5. Es wird nicht zurückgelegt! Die Restkugelzahl nimmt bei jedem Zug ab.
09.04.2024, 10:58	Cinzio22	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Urnenmodell Vielen Dank für die Antwort! @1: Die 5 sind mir klar. Aber ist das schon alles? Müsste man nicht noch zB bei ss xxxx berücksichtigen, wie sich diese xxxx aufreihen? --> daher habe ich die 5 eben noch mit 4!/3! multipliziert. @2: Stimmt. Das heisst p = 1/6 @3: Stimmt dein Kommentar wirklich? Müsste es nicht heissen: P(X >=2 ) = P(X=2) + P(X=3) + ... + P(X=10) ? --> das wäre aber ein wesentlich grösserer Rechenaufwand... @4: Oh stimmt, ohne Zurücklegen. Müsste es da nicht 1 - (3/6 * 2/5 * 1/4) - 3(3/6 3/5 * 2/4) sein? @5: Stimmt... dann wäre es so richtig? --> a) 2/6 * 1/5 * 16 + 2/6 * 1/5 * 4 + (1 - 2/15) * (-3) = -1.26 --> unfair --> b) x = -20/13
09.04.2024, 11:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 1) Es gibt viele Möglichkeiten, auf die richtige Anzahl 20 zu kommen. Meine Variante lautet z.B. so: Es werden 5 Elemente permutiert: 1 grüne Kugel, 3 gelbe Kugeln sowie 1 Schwarzblock (bestehend aus 2 schwarzen Kugeln). Anzahl dieser Permutationen mit Wiederholung (der 3 gelben Kugeln wegen) ist $\begin{eqnarray} \frac{5!}{3!} = 20 \end{eqnarray}$ . Zu 5) $\begin{eqnarray} P(X=16) = \frac{1}{\binom{6}{2}} = \frac{1}{15} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(X=4) = \frac{2}{\binom{6}{2}} = \frac{2}{15} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(X=-g) = 1-\frac{3}{15} = \frac{4}{5} \end{eqnarray}$ bei Spielgebühr $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} E(X) = \frac{16}{15} + \frac{8}{15} - \frac{4g}{5} = \frac{8-4g}{5} \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} g=2 \end{eqnarray}$ ist das Spiel fair, für $\begin{eqnarray} g>2 \end{eqnarray}$ (also auch die vorgegebenen $\begin{eqnarray} g=3 \end{eqnarray}$ ) gewinnt - wie üblich - der Betreiber.
09.04.2024, 13:55	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Urnenmodell Wobei man noch anmerken könnte, dass 2.) wohl streng genommen eigentlich ein Fall der Multinomialverteilung ist, da das Ereignis die Grundgesamtheit nicht mehr in Erfolg/Mißerfolg aufteilt. Falls das in der Original-Aufgabe nicht ausdrücklich gesagt wird.

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