Hin- und Herrechnen zwischen trigonometrischen Identitäten

12.04.2024, 18:55	Tyll	Auf diesen Beitrag antworten »
Hin- und Herrechnen zwischen trigonometrischen Identitäten Meine Frage: Ich hab mich an folgender Aufgabe beim Lernen etwas aufgehangen: Zeigen Sie $\begin{eqnarray} R(cos (t))=\frac{2 sin^2 (\frac{3t}{2})}{sin^2 (t)} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t\in {\mathbb{C}} / {(0, \pm \pi, ...)} ~mit~~ R(x):=\frac{4x^3-3x-1}{x^2-1} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Wie man den richtigen Nenner erhält, sieht man mit dem trigonometrischen Pythagoras ja schnell, aber den Zähler hab ich bisher noch nicht wirklich umgeformt bekommen. Theoretisch sollte es nur mit Winkelverdopplungs- und Halbwinkelformeln geschehen. Habt ihr irgendwelche Ideen?
12.04.2024, 19:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sin^2(u)=\frac{1-\cos(2u)}{2} \end{eqnarray}$ ergibt zunächst $\begin{eqnarray} 2\sin^2\left(\frac{3t}{2}\right) = 1-\cos(3t) \end{eqnarray}$ . Weiter dann $\begin{eqnarray} \cos(2t+t) = \cos(2t)\cos(t)-\sin(2t)\sin(t) = \left(\cos^2(t)-\sin^2(t)\right)\cos(t)-2\sin(t)\cos(t)\sin(t) = \cos^3(t)-3\sin^2(t)\cos(t) = \cos^3(t)-3\left(1-\cos^2(t)\right)\cos(t) = 4\cos^3(t)-3\cos(t) \end{eqnarray}$ , und damit sollte dann alles klar sein. P.S.: Man kann übrigens kürzen und dann zu $\begin{eqnarray} R(x) = \frac{(2x+1)^2}{x+1} \end{eqnarray}$ zusammenfassen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »