Stereometrie

14.04.2024, 20:13

Wadim.Schnerr

Stereometrie

Meine Frage:
Ich habe hier ein paar Aufgaben, die ich bearbeitet habe, jedoch um eine Korrektur bitte. Nur um sicher zu gehen.
Aufgabe 11:
Bei einem gegebenen Kugelsektor (siehe Bild) können d=6cm und r=5cm gemessen werden. Die Kugelabschnittshöhe h ist einer direkten Messung nicht zugänglich.
a) Berechnen Sie die Höhe "h"
b) Wie groß ist der Oberflächeninhalt des Sektors?
c) Geben Sie seinen Rauminhalt an
d) Leiten Sie wie in a), jedoch unabhängig vom
Zahlenbeispiel, eine Formel für die Höhe h her,
wenn r1 und r bekannt sind und h wie im Bild
kleiner als r ist.

Aufgabe 12:
Das Bild zeigt einen aus einem Kegelteil, einem
Zylinder und einer Halbkugel zusammengeschweißten Körper. Der Grundkreisradius r1 beträgt 15 cm,
der Zylinderdurchmesser 6 cm, und die Höhe h1 ist
gleich 16 cm. Der Körper ist hohl, nur oben
geschlossen; seine Gesamthöhe h ist 27 cm.
a) Wie viele cm^2 Blech wurden bei seiner Herstellung mindestens verwendet?. Hinweis: Richten Sie ihre Aufmerksamkeit u.a. auf das rechtwinklige Dreieck ABC!
b) Wie groß ist sein Rauminhalt

Meine Ideen:
Meine Bearbeitung.
Aufgabe 11.
a) r1=d/2=6cm/2=3cm; sqrt[r^2-r1^2]=sqrt[5^2-3^2=4; 4-h=r;;4+h=5//-4----h=1
r1=h*(2*r-h)
6^2=2*5*h-h^2
36=10*h-h^2 ///10
3,6=h-h^2

b) O=pi*r*(2h+r1)
O=pi*5cm*(2cm*1cm+3cm)
O=78,5398cm^2

c)
v=2/3*pi*r^2*h
V=2/3*pi*5^2cm*1cm
=52,36cm^2

d) Strecke h+h'=r
h'=sqrt[r^2-r1^2];
h=r-h'=r-sqrt[r^2-r1^2]

Aufgabe 12.
a) O kegel: AB=(r1*2-r2)/2, nach Einsetzen (15cm*2-6cm)/2=12cm
s=sqrt[AC^2+AB^2]=sqrt[16^2cm+12^2cm]=20cm
U*s=o; M=pi*(r1+r2)*s; nach Einsetzen: pi*15cm*6cm*20cm=1130,973
O zylinder: u*h^2 h2=h-h1=27cm-16cm-3cm=8cm
Nun : 6cm*pi*8cm=150,8cm^2
O Kugel: 2*pi*r^2
--2*pi*3^2cm=56,55cm^2
Addieren: 56,55cm^2+150,8cm^2+1130,97cm^2=1338,32cm^2
Es wurden 1338,32cm^2 Blech verwendet.

b) V Kegel: 1/3*pi*h*(r1^2+r1*r2+r2^2)
1/3*pi*16cm(15^2cm+15cm*3cm+3^2cm)=4674,69cm^3
V Zylinder: r^2*pi*h2
3^2cm*pi*8cm=226,195cm^3
V Kugel: 2/3*pi*r^3
2/3*pi*3^3cm=56,549cm^3
Addieren: 56,549cm^3+226,195cm^3+4674,69cm^3=4957,434cm^3

Der Köper hat ein Volumen von 4957,434cm^3

Vielen Dank im Voraus.

15.04.2024, 14:10

Gualtiero

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Ich habe mir nur mal Aufgabe 11 angeschaut.

a) richtig

b) und c): Welche Formeln verwendest Du da?

Die Oberfläche ist ja Mantel + Grundkreisfläche = $\begin{eqnarray*} 2 \pi rh + \left(\frac{d}{2} \right)^2\pi \end{eqnarray*}$

Ebenso finde ich bei Wikipedia die Formel für das Volumen einer Kugelkalotte: $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{3}\color{red}h^2\color{black}(3r-h) \end{eqnarray*}$

Dein Ergebnis von 52,36 kann schon überschlagsmäßig berechnet nicht stimmen. Der Grundkreis der Kalotte hat einen Radius von 3 und und eine Höhe von 1. Ein Zylinder mit diesen Ausmaßen hätte ein Volumen von $\begin{eqnarray*} 9\pi \end{eqnarray*}$ , und die Kalotte hat aber durch die "Kuppel"-Form noch weniger Inhalt.

d) richtig

EDIT:

Bei Aufgabe 12 kann ich Deine Ergebnisse bestätigen.

EDIT2

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{3}\color{red}h^2\color{black}(3r-h) \end{eqnarray*}$

Danke @Mythos

24.04.2024, 14:10

mYthos

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Zitat:

Original von Gualtiero
...
Ebenso finde ich bei Wikipedia die Formel für das Volumen einer Kugelkalotte: $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{3}(3r-h) \end{eqnarray*}$
...

Das kann so nicht stimmen (das Volumen ist 3-dimensional), also fehlt dort noch der Faktor $\begin{eqnarray*} h^2 \end{eqnarray*}$ Big Laugh

mY+

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