Kantenwinkel einer Pyramide

15.04.2024, 22:46	Tiptab	Auf diesen Beitrag antworten »
Kantenwinkel einer Pyramide Meine Frage: An einem pyramidenförmigen Hausdach sollen die Kanten, welche zur oberen Spitze führen, mit Blechkanten verkleidet werden. Wie kann man den Winkel berechnen, mit den denen die Bleche gefaltet werden müssen? In Bezug auf Höhe und Breite der Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Meine Ideen: Wenn die Höhe gleich 0 ist, ist der Winkel 180 Grad. Wenn die Höhe unendlich wäre, wäre der Winkel 90 Grad.
16.04.2024, 06:24	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier bietet sich Analytische Geometrie an. Lege die Pyramide so in ein kartesisches $\begin{align} xyz \end{align}$ -Koordinatensystem, daß die Spitze $\begin{align} S \end{align}$ auf der $\begin{align} z \end{align}$ -Achse und die Ecken $\begin{align} A,B,C,D \end{align}$ des Quadrats auf der $\begin{align} x \end{align}$ - beziehungsweise $\begin{align} y \end{align}$ -Achse liegen. Wenn also $\begin{align} a \end{align}$ die Quadratkante und $\begin{align} h \end{align}$ die Höhe der Pyramide ist, bekommst du etwa $\begin{align} S = \left( 0,0,h \right) \, , \ \ A = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} a,0,0 \right)\, , \ \ldots \end{align}$ Jetzt bestimme Normalenvektoren der Ebenen $\begin{align} ABS \end{align}$ und $\begin{align} BCS \end{align}$ und damit den Winkel zwischen den beiden Ebenen. Von den beiden möglichen Schnittwinkeln mußt du, wie du bereits bemerkt hast, den stumpfen auswählen. EDIT (Nachtrag Formel) Für den Knickwinkel $\begin{align} \delta \end{align}$ gilt: $\begin{align} \delta = \arccos \left( - \frac{a^2}{a^2 + 4h^2} \right) = \pi - \arccos \left( \frac{a^2}{a^2+ 4h^2} \right) = \pi - \arccos \left( \frac{1}{1 + \left( \frac{2h}{a} \right)^2} \right) \end{align}$ Einen schönen Wert bekommt man, wenn $\begin{align} a \end{align}$ doppelt so groß wie $\begin{align} h \end{align}$ ist: $\begin{align} \delta = \frac{2}{3} \pi = 120^{\circ} \end{align}$

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