Maclaurin Series

17.04.2024, 00:28	Devanther	Auf diesen Beitrag antworten »
Maclaurin Series Hallo, wie komme ich im Nenner auf 2,9,75,2205,25515 und im Zähler auf die Zahl VOR dem x? Ich verstehe nur wie man auf x^1, x^3, x^5, x^7, x^9 kommt. Was muss man (im Bild unten) für n eingeben um dann oben auf die entsprechenden Zahlen zu kommen? Wenn ich für n 0, 1, 2, 3 etc eingebe komme ich auf die oberen Werte einfach nicht. Mit anderen Worten: WIE komme ich vom Ausdruck unten auf die entsprechenden Zahlen oben? Die Series repräsentiert ja diese Zahlen natürlich. Kann mir bitte jemand Schritt für Schritt sagen wie man auf diese Zahlen kommt?
17.04.2024, 01:04	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Da wird einfach nur das Polynom integriert. Die elementare Regel $\begin{eqnarray} \int~x^n=\frac 1{n+1}x^{n+1}(+c) \end{eqnarray}$ sollte Dir nicht fremd sein, wenn Du Dich schon mit solchen Themen befasst.
17.04.2024, 01:16	Devanther	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich verstehe es immer noch nicht. Gib mir mal bitte ein Beispiel, wie komme ich im Nenner auf 75 und im Zähler auf 1 ? Wie ich auf x^5 komme weiss ich ja. Das was du wohl meinst weiss ich ja, ich weiss wie man integriert im Zähler +1 und dann durch den neuen Exponenten teilen. Es geht um den Zusammenhang zwischen der Series und den ausgeschriebenen Zahlen zu finden.
17.04.2024, 08:32	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Was genau willst du nochmal erläutert haben? 1) Wie man durch Potenzreihe + Integration auf die Formel $\begin{eqnarray} \int \frac{\sin(2x)}{4x} ~ \dd x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n\cdot 2^{2n-1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!}\cdot x^{2n+1} + C \end{eqnarray}$ kommt? 2) Oder wie man von dieser Formel ausgehend den dort stehenden Reihenkoeffizienten für konkretes $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ausrechnet? Nehmen wir mal 2) für den Koeffizienten für $\begin{eqnarray} x^5 \end{eqnarray}$ : Es ist $\begin{eqnarray} x^5 = x^{2\cdot 2+1} \end{eqnarray}$ , es geht daher um das Reihenglied für $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ , und das setzt man ein: $\begin{eqnarray} \frac{(-1)^2\cdot 2^3}{5\cdot 5!}\cdot x^5 = \frac{8}{5\cdot 120} x^5 = \frac{1}{5\cdot 15} x^5 = \frac{1}{75} x^5 \end{eqnarray}$ . -------------------------------------------------------------- Vielleicht fragst du dich auch, warum im Zähler anscheinend oft nur eine 1 steht? Der Eindruck täuscht: In einem anderen Thread haben wir mal festgestellt, dass $\begin{eqnarray} m! \end{eqnarray}$ den Primfaktor 2 im Exponent $\begin{eqnarray} m-q_2(m) \end{eqnarray}$ aufweist, dabei ist $\begin{eqnarray} q_2(m) \end{eqnarray}$ die Quersumme der Binärdarstellung von $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ . Das bedeutet für $\begin{eqnarray} (2n+1)! \end{eqnarray}$ dann Exponent $\begin{eqnarray} 2n+1-q_2(2n+1) = 2n-q_2(2n) = 2n-q_2(n) \end{eqnarray}$ Das bedeutet für den Betrag des Reihenkoeffizienten $\begin{eqnarray} \frac{2^{2n-1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!} = \frac{2^{2n-1}}{2^{2n-q_2(n)}\cdot u} = \frac{2^{q_2(n)-1}}{u} \end{eqnarray}$ mit einer ungeraden Zahl $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ , also nicht weiter kürzbar. D.h., es kann nur dann der Zähler $\begin{eqnarray} 2^{2n-1} \end{eqnarray}$ vollständig gekürzt werden, wenn $\begin{eqnarray} q_2(n)\leq 1 \end{eqnarray}$ ist - mit anderen Worten $\begin{eqnarray} n=0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ eine Zweierpotenz ist. Das passiert am Anfang recht häufig $\begin{eqnarray} n=0,1,2,4 \end{eqnarray}$ , aber dann immer seltener.
17.04.2024, 18:10	Devanther	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, vielen Dank! Ich hatte gestern total den Tunnelblick leider! Ich habe die Werte für n, 0,1,2,3 etc falsch in die Series eingesetzt.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »