a^x+b^x=c nach x auflösen mit a*b=1

17.04.2024, 12:50	Nicht_Daniel	Auf diesen Beitrag antworten »
*a^x+b^x=c nach x auflösen mit ab=1 Meine Frage:** Im Anhang ist die genaue Aufgabe. Der Prof sagt es muss zwischen a und b ein Zusammenhang hergestellt werden. ab ist halt gleich 1. Wenn mir irgendwer einen hilfreichen Ansatz geben kann wäre ich dankbar. Meine Ideen:* Eine näherungsweise Lösung habe ich schon aber es muss ein Term mit der Lösung angegeben werden. Der Prof sagt es muss zwischen a und b ein Zusammenhang hergestellt werden. a*b ist halt gleich 1.
17.04.2024, 13:03	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Setzen wir $\begin{eqnarray} u=\sqrt[3]{3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v=\sqrt[3]{2} \end{eqnarray}$ und damit dann $\begin{eqnarray} a=u-v \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} b= u^2 + uv + v^2 \end{eqnarray}$ , so folgt tatsächlich $\begin{eqnarray} a\cdot b = u^3-v^3 = 3-2 = 1 \end{eqnarray}$ . Damit bekommen wir die Gleichung $\begin{eqnarray} 2\sqrt{2} = a^x + b^x = a^x + \frac{1}{a^x} \end{eqnarray}$ . Substituiert man nun $\begin{eqnarray} t=a^x \end{eqnarray}$ , so entsteht daraus $\begin{eqnarray} 2\sqrt{2} = t + \frac{1}{t} \end{eqnarray}$ , umgestellt $\begin{eqnarray} t^2 - 2\sqrt{2}t + 1 = 0 \end{eqnarray}$ . Diese quadratische Gleichung ist zu lösen, und anschließend kann rücksubstituiert werden.
18.04.2024, 10:22	Nicht_Daniel	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Das hat mir gefehlt

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