x-Koordinate von Schnittpunkten Ellipse mit Kreis

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Geppetto Auf diesen Beitrag antworten »
x-Koordinate von Schnittpunkten Ellipse mit Kreis
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe folgendes Problem und hoffe, dass jemand helfen kann:
Es geht um die Berechnung der x-Koordinate des (der)
Schnittpunkte(s) einer Ellipse und einem Kreis. Die Mitte der Ellipse liegt
im Ursprung, die Mitte des Kreises liegt bei y=0, ist vom Ursprung aber um c verschoben.

Mit der Ellipsengleichung

(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1

und der Gleichung des verschobenen Kreises

((x-c)^2)+y^2=r^2

erhalte ich nach einiger Umformung die Lösung

x=c/H +- Wurzel ( ((r^2) - (b^2) - (c^2))/H + (c^2)/(H^2) )

mit H=(1-(b^2)/(a^2))

Unter den oben genannten Voraussetzungen kann es 0, 1 oder 2 x-Koordinaten
geben, bei denen sich Ellipse und Kreis schneiden.

Ich habe verschiedene konkrete Fälle durchgerechnet, beispielsweise

a=5.5 , b=7.5 , c=8.5 , r=4.2

Hierfür erhalte ich zwei x-Schnittpunktkoordinaten:

x= 5.16986... (positive Wurzel)
x= -24.9487...(negative Wurzel)

Ein Plot der Funktionen (z.B. mit desmos.com) zeigt aber, dass sich Kreis und
Ellipse nur bei x = 5.16 schneiden. Die Lösung mit der positiven Wurzel scheint also korrekt zu sein, die mit der negativen ergibt aber überhaupt keinen Sinn.

Habe ich mich irgendwo verrechnet, oder interpretiere ich die Ergebnisse falsch?

Vielen Dank im Voraus für Eure Hilfe !



Meine Ideen:
Meine Vermutung ist, dass sich das Problem ohne gleichzeitige Betrachtung der Y-Werte nicht lösen lässt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast ein quadratisches Gleichungssystem in . Ich vermute, daß du aus deinen beiden Gleichungen eliminiert hast und dann auf eine quadratische Gleichung in gekommen bist. Diese Gleichung besteht für jeden gültigen -Wert im Sinn der Lösung deines geometrischen Problems. Das Umgekehrte muß nicht gelten. Nicht jede Lösung der Gleichung muß eine Lösung des Problems sein. Du hast mit dem Eliminieren von eine Implikation, keine Äquivalenz durchgeführt. Wie man an diesem Beispiel schön sehen kann, werden die Zusammenhänge gleich deutlich komplizierter, wenn man die überschaubaren Gegenden der linearen Gleichungssysteme verläßt.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Um das zu ergänzen: Du hast ja per eliminiert. Setz doch mal deine (Schein-)Lösung da ein...

Kurzum: Nur diejenigen sind wirklich Lösungen, für die gilt. In dem Fall sind zugehörige passende -Koordinaten der Schnittpunkte.
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