Differentialgleichung

18.04.2024, 11:07

Cinzio22

Differentialgleichung

Hallo zusammen

Ich habe folgende Aufgabe gebeben:
y' = 2x -y ; y(0) = 1.

Ich soll einen Näherungswert für y bei x = 0.1 mit dem Euler-Cauchy-Verfahren (Schrittweite h = 0.1) berechnen.

Dieses x in der Gleichung verwirrt mich ziemlich. Wie muss / kann ich die Gleichung lösen?

Danke für jede Hilfe! smile

18.04.2024, 11:17

HAL 9000

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Was verwirrt dich denn daran? Das ist eine ganz normale DGL ersten Grades $\begin{eqnarray*} y' = F(x,y) \end{eqnarray*}$ , hier mit $\begin{eqnarray*} F(x,y)=2x-y \end{eqnarray*}$ , auf die du das Euler-Verfahren anwenden kannst:

$\begin{eqnarray*} x_k = x_0 + k\cdot h \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h = 0.1 \end{eqnarray*}$ , und dann $\begin{eqnarray*} y_0=1 \end{eqnarray*}$ sowie

$\begin{eqnarray*} y_{k+1} = y_k + h\cdot F\left(x_k,y_k\right) = y_k + h\cdot \left(2x_k-y_k\right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,1,\ldots \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Cinzio22
Ich soll einen Näherungswert für y bei x = 0.1 mit dem Euler-Cauchy-Verfahren (Schrittweite h = 0.1) berechnen.

Das wäre ja nur ein Schritt - bist du dir sicher, dass wirklich dieses $\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$ x und diese Schrittweite $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ gemeint sind??? verwirrt

18.04.2024, 20:53

Cinzio22

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Vielen Dank für die Erklärung.

Ja, nur 1 Schritt ist schon richtig. Es ist ein Theorie-Beispiel und soll einfach das E-C-Verfahren veranschaulichen. smile

19.04.2024, 18:40

Cinzio22

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Ich hätte noch eine andere Frage:

Wie würde man diese DGL _exakt_ lösen?

19.04.2024, 19:09

Leopold

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Das ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Dafür gibt es Lösungsverfahren. Um hier schnell zum Ziel zu kommen, könnte man

$\begin{align*} u = y - 2x + 2 \end{align*}$

substituieren. Mit $\begin{align*} u' = y' - 2 \end{align*}$

rechnet man

$\begin{align*} u + u' = y - 2x + 2 + y'- 2 = 0 \, , \ \ u(0) = 3 \end{align*}$

Die Lösungen von $\begin{align*} u + u'= 0 \end{align*}$ sind aber wohlbekannt.

20.04.2024, 22:37

Cinzio22

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Vielen Dank für die Antwort.

Darf ich fragen: Wie kommst du auf den Ansatz u = y - 2x + 2 ?

Für mich liegt die überhaupt nicht auf der Hand... und ich verstehe sie auch nicht wirklich, ehrlich gesagt :/

21.04.2024, 09:29

Leopold

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Zitat:

Original von Cinzio22
Wie kommst du auf den Ansatz u = y - 2x + 2 ?

Erfahrung sowie Versuch und Irrtum.

Ziel ist es, die Differentialgleichung zu vereinfachen: $\begin{align*} u' + u = 0 \end{align*}$ hat die Lösungen $\begin{align*} u = c \cdot \operatorname{e}^{-x} \end{align*}$ mit einer Konstanten $\begin{align*} c \end{align*}$ . Wenn $\begin{align*} u(0)=3 \end{align*}$ sein soll, folgt $\begin{align*} c=3 \end{align*}$ , somit

$\begin{align*} u = 3 \operatorname{e}^{-x} \end{align*}$

Das in den Ansatz eingesetzt und nach $\begin{align*} y \end{align*}$ aufgelöst, ist man am Ziel.

Ohne Erfahrung mit Differentialgleichungen ist mein Vorgehen vielleicht nicht durchsichtig. Es gibt ein Standardlösungsverfahren für lineare Differentialgleichungen erster Ordnung. Siehe zum Beispiel hier.

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