Differentialgleichung

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Cinzio22 Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung
Hallo zusammen

Ich habe folgende Aufgabe gebeben:
y' = 2x -y ; y(0) = 1.

Ich soll einen Näherungswert für y bei x = 0.1 mit dem Euler-Cauchy-Verfahren (Schrittweite h = 0.1) berechnen.

Dieses x in der Gleichung verwirrt mich ziemlich. Wie muss / kann ich die Gleichung lösen?

Danke für jede Hilfe! smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Was verwirrt dich denn daran? Das ist eine ganz normale DGL ersten Grades , hier mit , auf die du das Euler-Verfahren anwenden kannst:

mit und , und dann sowie

für .

Zitat:
Original von Cinzio22
Ich soll einen Näherungswert für y bei x = 0.1 mit dem Euler-Cauchy-Verfahren (Schrittweite h = 0.1) berechnen.

Das wäre ja nur ein Schritt - bist du dir sicher, dass wirklich dieses x und diese Schrittweite gemeint sind??? verwirrt
Cinzio22 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Erklärung.

Ja, nur 1 Schritt ist schon richtig. Es ist ein Theorie-Beispiel und soll einfach das E-C-Verfahren veranschaulichen. smile
Cinzio22 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte noch eine andere Frage:

Wie würde man diese DGL _exakt_ lösen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Dafür gibt es Lösungsverfahren. Um hier schnell zum Ziel zu kommen, könnte man



substituieren. Mit

rechnet man



Die Lösungen von sind aber wohlbekannt.
Cinzio22 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort.

Darf ich fragen: Wie kommst du auf den Ansatz u = y - 2x + 2 ?

Für mich liegt die überhaupt nicht auf der Hand... und ich verstehe sie auch nicht wirklich, ehrlich gesagt :/
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cinzio22
Wie kommst du auf den Ansatz u = y - 2x + 2 ?


Erfahrung sowie Versuch und Irrtum.

Ziel ist es, die Differentialgleichung zu vereinfachen: hat die Lösungen mit einer Konstanten . Wenn sein soll, folgt , somit



Das in den Ansatz eingesetzt und nach aufgelöst, ist man am Ziel.

Ohne Erfahrung mit Differentialgleichungen ist mein Vorgehen vielleicht nicht durchsichtig. Es gibt ein Standardlösungsverfahren für lineare Differentialgleichungen erster Ordnung. Siehe zum Beispiel hier.
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