Die Mathematik in einem wissenschaftlichen Paper

20.04.2024, 16:49

Blerim

Die Mathematik in einem wissenschaftlichen Paper

Meine Frage:
Hallo, ich soll ein Paper lesen und verstehen, das Verstehen ist nicht das Problem, nur, das ich mathematisch nicht darauf komme, wie der Autor von (4) auf (5) gekommen ist.
Ich betreibe schon die ganze Zeit, diverse Umformungen, leider komme ich auf nichts sinnvolles.

Es ist auf Seite 1351-1352

Meine Ideen:
http://www.law.harvard.edu/faculty/shave...l_Econ_1347.pdf hier ist das Paper.

Ich würde mich freuen auf eine Antwort. Vielen Dank

21.04.2024, 13:31

Blerim

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$\begin{eqnarray*} EU_{t}=\sum\limits_{k=t}^{\infty} ([p_{k} \prod_{j=t}^{k-1}(1-p_{j})]({\sum_{j=t}^{k} U(b_{j})/(1+r)^{j-t}+U(w)/[r(1+r)^{k-t}]})) \end{eqnarray*}$

also, das würde ich anstatt (4) schreiben.

ich sage es jetzt einfach mal dreißt, er hat einen Schreibfehler gemacht.

21.04.2024, 13:39

IfindU

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RE: Die Mathematik in einem wissenschaftlichen Paper
Geht es dir um (4)-> (5) wie anfangs beschrieben, oder um (3) ->(4) wie es jetzt klingt?

21.04.2024, 13:41

Blerim

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Hallo IfindU, schön mit dir zu schreiben, mir geht es darum, dass (4)=(5) und das verstehe ich nicht, wie soll das gehen?

$\begin{eqnarray*} EU_{t}=EU_{t} \end{eqnarray*}$

21.04.2024, 14:04

IfindU

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Ich hab jetzt ziemlich lange gerechnet, und du hast recht. Das Produktzeichen muss ein Summenzeichen sein. Sonst passt das nicht mehr der Rekursion.

21.04.2024, 14:44

Blerim

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Danke, IfundU, hast du eine Idee, wie der Autor auf (5) gekommen ist, mit unserer oder der alten $\begin{eqnarray*} EU_{t} \end{eqnarray*}$

Was ist eine Rekursion?

21.04.2024, 16:03

IfindU

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Links steht $\begin{eqnarray*} EU_t \end{eqnarray*}$ und rechts $\begin{eqnarray*} EU_{t+2} \end{eqnarray*}$ , das meinte ich mit Rekursion.

Um drauf zu kommen, definiere ich erst einmal : $\begin{eqnarray*} A_{t} = p_k \prod_{j=t}^{k-1} (1-p_j) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B_{ t}= \sum_{j=t}^{k} \frac 1 { (1+r)^{j-t}} {U(b_j)}+ \frac 1 { (1+r)^{k-t}} {U(w)} \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} A_t = p_k \prod_{j=t}^{k-1} (1-p_j) = (1-p_t)(1-p_{t+1})p_k \prod_{j={t+2}}^{k-1} (1-p_j) =(1-p_t)(1-p_{t+1}) A_{t+2} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} B_t &=& \frac 1 { (1+r)^{k-t}} {U(w) + \sum_{j=t}^{k} \frac 1 { (1+r)^{j-t}} {U(b_j)}} &=& \frac 1 { (1+r)^2}\cdot \left ( \frac 1 { (1+r)^{k-(t+2)}} {U(w) + \sum_{j=t}^{k} \frac 1 { (1+r)^{j-(t+2)}} {U(b_j)}}\right) &=& \frac 1 { (1+r)^2}\cdot \left ( \frac 1 { (1+r)^{k-(t+2)}} {U(w) + \sum_{j=t+2}^{k} \frac 1 { (1+r)^{j-(t+2)}} U(b_j) } \right) - \frac 1 {(1+r)^2} \left ( (1+r)^2 U(b_t) + (1+r) U(b_{t+1}) \right) &=& \frac 1 { (1+r)^2}\cdot B_{t+2} - \frac 1 {(1+r)^2} \left ( (1+r)^2 U(b_t) + (1+r) U(b_{t+1}) \right) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt ist
$\begin{eqnarray*} EU_t = \sum_{k=t}^\infty A_t B_t = \sum_{k=t}^\infty \Big ((1-p_t)(1-p_{t+1}) A_{t+2} \Big) \Big( \frac 1 { (1+r)^2}\ B_{t+2} - \frac 1 {(1+r)^2} \left ( (1+r)^2 U(b_t) + (1+r) U(b_{t+1})\right) \Big) \end{eqnarray*}$ .

Das ganze ausmultipliziert und noch einmal Summengrenzen angepasst und es steht da (oder sollte dastehen.)

21.04.2024, 16:48

Blerim

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$\begin{eqnarray*} A_t = p_k \prod_{j=t}^{k-1} (1-p_j) = (1-p_t)(1-p_{t+1})p_k \prod_{j={t+2}}^{k-1} (1-p_j) =(1-p_t)(1-p_{t+1}) A_{t+2} [/l] \end{eqnarray*}$ , aber hier frage ich mich schon, wieso das funktioniert. Ich mein, hier ist doch t>k-1 oder nicht?

21.04.2024, 19:33

Blerim

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Ok, so weit so gut, habe ich es verstanden, ich habe zwei Punkte, die ich nicht verstehe.

Sorry, IfindU, ich komme nicht auf die Endgleichung. Kannst du mir den nächsten Schritt aufschreiben;

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=t}^{\infty} ((1-p_{t+1})(1-p_{t+1})A_{t+2})(\frac{U(w)}{(1+r)^{k-t}}+\sum\limits_{k=t+2}^{k} \frac{U(b_{j})}{(1+r)^{j-t}}-U(b_{t})-U(b_{t+1})\frac{1}{1+r}) \end{eqnarray*}$

21.04.2024, 20:46

IfindU

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$\begin{eqnarray*} EU_t &=& \sum_{k=t}^\infty \Big ((1-p_t)(1-p_{t+1}) A_{t+2} \Big) \Big( \frac 1 { (1+r)^2}\ B_{t+2} - \frac 1 {(1+r)^2} \left ( (1+r)^2 U(b_t) + (1+r) U(b_{t+1})\right) \Big) &=&(1-p_t)(1-p_{t+1})(1+r)^{-2} \sum_{k=t}^\infty A_{t+2} B_{t+2} - (1-p_t)(1-p_{t+1})(1+r)^{-1} \sum_{k=t}^\infty A_{t+2} \left ( (1+r) U(b_t) + U(b_{t+1})\right) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt ist
$\begin{eqnarray*} (1-p_t)(1-p_{t+1})(1+r)^{-2} \sum_{k=t}^\infty A_{t+2} B_{t+2} = (1-p_t)(1-p_{t+1})(1+r)^{-2} EU_{t+2} + (1-p_t)(1-p_{t+1})(1+r)^{-2} ( A_t B_t+ A_{t+1}B_{t+1} ) \end{eqnarray*}$ .
Bei dem anderen Term, sit nur $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ abhängig von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ (nicht explizit aufgeschrieben), mit
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=t}^\infty A_{t+2} = p_k \sum_{k=t}^\infty \prod_{j=t+2}^{k-1} (1-p_j) \end{eqnarray*}$
d.h.
$\begin{eqnarray*} (1-p_t)(1-p_{t+1})(1+r)^{-1} \left ( (1+r) U(b_t) + U(b_{t+1})\right) \sum_{k=t}^\infty A_{t+2} = \left ( (1+r) U(b_t) + U(b_{t+1})\right) \sum_{k=t}^\infty A_{t} \end{eqnarray*}$

Leider sehe ich nicht wie wir $\begin{eqnarray*} \sum_{k=t}^\infty A_{t} \end{eqnarray*}$ an der Stelle loswerden...Ob es einen W-Theoretischen Grundd gibt warum sich die Reihe über $\begin{eqnarray*} A_t \end{eqnarray*}$ zu einem "einfachen" Ausdruck ergeben.

Ansonsten: Einfacher wird es sein [l] EU_{t+2}/l] zu berechnen und das zu vereinfachen um die Gültigkeit nachzuweisen. Es ist grundsätzlicher einfacher mit vielen Termen zu starten zu wenigen zu vereinfachen. Das ist recht "eindeutig". Umgekehrt gibt es zig Darstellungen

21.04.2024, 21:30

Blerim

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Vielleicht ist die Summe 1, weil es auf Seite 1350 $\begin{eqnarray*} \prob_{j=1}^{t-1} \end{eqnarray*}$ gilt, wo dies als die Wahrscheinlichkeit beschrieben wird, dass eine Person am Anfang der Periode t arbeitslos ist.

21.04.2024, 22:56

Blerim

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$\begin{eqnarray*} (1-p_t)(1-p_{t+1})(1+r)^{-2} \sum_{k=t}^\infty A_{t+2} B_{t+2} = (1-p_t)(1-p_{t+1})(1+r)^{-2} EU_{t+2} + (1-p_t)(1-p_{t+1})(1+r)^{-2} ( A_t B_t+ A_{t+1}B_{t+1} ) \end{eqnarray*}$

Wie kommst du mathematisch auf diesen Schritt?

22.04.2024, 12:22

IfindU

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Die Reihe ist ja bis auf den Summationsindex $\begin{eqnarray*} EU_{t+2} \end{eqnarray*}$ . Ich hab die zwei zusätzlichen Summanden dann explizit ausgeschrieben und dann die Definition von $\begin{eqnarray*} EU_{t+2} \end{eqnarray*}$ eingesetzt.

24.04.2024, 13:45

Reibekuchen

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Kannst du mir das nochmal aufschreiben, komme nicht drauf.

24.04.2024, 20:23

IfindU

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Zitat:

Original von Reibekuchen
Kannst du mir das nochmal aufschreiben, komme nicht drauf.

Auch gut so, ist auch falsch von mir gewesen. Ich hätte $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ immer dazu schreiben sollen, wäre ich nicht in Versuchung gekommen zwei Indizes zusammenzuwerfen.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=t}^\infty A_{k, t+2} B_{k, t+2} =A_{t, t+2} B_{t, t+2} + A_{t+1, t+2} B_{t+1, t+2} +\sum_{k=t+2}^\infty A_{k, t+2} B_{k, t+2} = A_{t, t+2} B_{t, t+2} + A_{t+1, t+2} B_{t+1, t+2} + EU_{t+2} \end{eqnarray*}$ .

So sollte es richtig sein. Und leider sind die ersten Summanden anders definiert als ich es zu Beginn gemacht habe. Dort tauchen nämliche leere Summen und Produkte auf.

Da ich alles sehr formal gemacht habe, ohne auf so "Details" wie sinnvolle Fallunterscheidungen zu machen, wird man jetzt so Sachen machen müssen wie
$\begin{eqnarray*} A_{t, t+2} \stackrel{?}{=} p_k \prod_{j=t+2}^{t-1} (1-p_j) \stackrel{?}{=} p_k \left (\prod_{j=t-1}^{t+2} (1-p_j) \right)^{-1} \end{eqnarray*}$
anstatt wie üblich ein leeres Produkt.

Andersrum, mit $\begin{eqnarray*} EU_{t+2} \end{eqnarray*}$ startend auf der rechten Seite und alles einfach ausrechnen mit sehr ähnlichen Schritten wie hier "vorwärts", wird sicher einfacher und sauberer sein.

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