Überlagerung von Kreisen

21.04.2024, 16:11

Lya_08

Auf diesen Beitrag antworten »

Überlagerung von Kreisen

Guten Tag

Ich suche eine allegemeine Gleichung zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit und die Anzahl von Überlagerung von Kreisen.
gegeben:
- sind zwei gleich große Flächen, Fläche A und A'
- es sind in den Flächen A und A' Kreise in unterschiedlicher Anzahl n und n' gleichmäßig verteilt, gleichmäßig auch vom Rand
- die Kreis in den Fläche A und A' haben je einen anderen Radius r und r'
Überlagerung: dass sich je ein Kreis mit dem Radius r und ein Kreis mit dem Radius r' in ihrer Fläche komplett überlappen.

Zeichnerrisch (ist auch zuaufwendig) kam ich auf dieses

Als Beispiel Fläche rechteckig 144m^2
r=1, r'=0,8
n=9, n'=16
Ergebnis, Wahrscheinlichkeit der Überlagerung: 0 (0%)
Ergebnis, Anzahl der Überlagerungen: 0

Als Beispiel Fläche rechteckig 144m^2
r=1, r'=1
n=16, n'=16
Ergebnis, Wahrscheinlichkeit der Überlagerung: 1 (100%)
Ergebnis,Anzahl der Überlagerungen: 16*16=256

mit freundlichen Grüßen

21.04.2024, 17:03

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest mal näher erläutern, was du unter der gleichmäßigen Verteilung von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Kreisen (jeweils Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ) auf einer Fläche $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ verstehst. Anscheinend nämlich nicht die gleichmäßige stetige Verteilung - was man ja zunächst annehmen könnte, da du in Stochastik gepostet hast... unglücklich

unglücklich

21.04.2024, 17:18

Lya_08

Auf diesen Beitrag antworten »

So,

Gleichmäßige Verteilung, bei den Beispielen
Als Beispiel Fläche rechteckig 144m^2
r=1m, r'=0,8m
n=9, n'=16

Für die rechteckig Fläche A und A', 12m Länge L und 12m Breite B
Abstände in der Länge und Breite: s = (L - (n)^0,5*(2*r))/((n)^0,5+1)
so sind die Kreise (Außenrand zu Außenrand) zueinander und vom Rand (Außenrand zu Fläche) gleichweit entfernt
s = (12m - (9)^0,5*(2*1m))/((9)^0,5+1), 1,5m
s = (12m - (16)^0,5*(2*1m))/((16)^0,5+1), 0,8m

21.04.2024, 18:04

Lya_08

Auf diesen Beitrag antworten »

Korrektor

Es liege alle 16 Kreise übereinander nicht 256 (16*16)

Als Beispiel Fläche rechteckig 144m^2
r=1, r'=1
n=16, n'=16
Ergebnis, Wahrscheinlichkeit der Überlagerung: 1 (100%)
Ergebnis, Anzahl der Überlagerungen: 16

22.04.2024, 06:33

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, es geht also nicht um eine (stochastische) gleichmäßige Verteilung, sondern eine regelmäßige Platzierung der Kreise in einer Art Gitterstruktur. Wie die allerdings aussehen soll, wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ keine Quadratzahl ist (nehmen wir z.B. $\begin{eqnarray*} n=17 \end{eqnarray*}$ ), das ist nach wie vor unklar - ebenso, wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mal kein Rechteck ist.

Oder betrachtest du von vornherein ausschließlich Quadrate $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und auch nur Quadratzahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ? Ich sehe, es gibt in der Problemformulierung noch eine Menge aufzuarbeiten.

P.S.: Wenn gar kein Zufall im Spiel ist - wieso hast du dann das Problem hier in der Stochastik gepostet?

22.04.2024, 12:57

Lya_08

Auf diesen Beitrag antworten »

(stochastische) gleichmäßige Verteilung, ist das wenn man Kugeln durch Stäbe fallen Last, so das sich dann die meisten in der Mitte sammeln, daher eine Art Bogenform der Anzahl entsteht?
falls ja das ist es nicht, es ist eine einfache gleichmäßige Verteilung über eine beliebige Fläche

grob nur zur Vorstellung, daher nicht so in das physikalische Detail
Wie gleiche elektrische Ladungen die sich abstoßen und sich so gleichmäßig in der Fläche verteilen müssen.

Ich habe es bis jetzt nur mit Rechtecken gezeichnet gehabt, daher bei runden Formen kann ich es nicht sagen.

Es müssten dann bei Rechtecken Quadratzahlen sein.

Da die Kreise gleichmäßig (die abstände zueinander sind immer gleich) über die Fläche verteilt sind.

so müsse sich dann der Abstand s egal um welche Art Fläche (Kreis, Rechteck oder andere) es sich handelt, wie folgt berechnen lassen
x = Fläche: Durchmesser, die Länge oder Breite, ... in Meter
N = Anzahl je Fläche, Anzahl je Quadratmeter
r = Kreisradius in Meter

N^0,5 deshalb, weil die Anzahl sich gleichmäßig über die jeweilige Fläche verteilt, so lässt sich die Anzahl der Kreise über den Durchmesser, die Länge, die Breite, ... bestimmen

Abstand s
s = (x - N^0,5*2*r)/N^0,5*2*r+1)

Anzeige

22.04.2024, 12:59

Lya_08

Auf diesen Beitrag antworten »

Klammer vergessen
s = (x - N^0,5*2*r)/(N^0,5*2*r+1)

22.04.2024, 15:21

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht geht es darum, gleichgroße Kreise in einer vorgegebenen Fläche gleichmäßig zu verteilen. Und dann die Überlappungen zweier solcher Verteilungen festzustellen. Hier meine skizzenhafte Vorstellung des gegebenen Beispiels mit 9 bzw. 16 Kreisen:
[attach]57723[/attach]

23.04.2024, 07:52

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, für den Spezialfall " $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ Quadrat und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Quadratzahl" habe ich Lya_08 auch so verstanden.

Man kann natürlich rasch ein Programm/Skript schreiben, welches nun zählt, wie viele der kleineren Kreise vollständig in größeren Kreisen der anderen Konfiguration enthalten sind (im von Steffen dargestellten Fall sind das gar keine, was Lya_08 oben ja auch schon erwähnte). Wählt man $\begin{eqnarray*} r'=0.45 \end{eqnarray*}$ statt 0.8, so sind es immerhin schon 4 (nahe den vier Quadratecken).

Eine allgemeine Formel ohne dieses Bruteforce zu haben wäre sicher angenehm, aber eine solche zu entwickeln scheint nicht gerade trivial zu sein.

EDIT: Angefügt mal ein größeres Beispiel mit $\begin{eqnarray*} a=100,n=40^2,r=1,n'=53^2,r'=0.7 \end{eqnarray*}$ mit genau 120 vollständigen Überlappungen, im Bild als Vollkreise markiert:

[attach]57726[/attach]

Das Pythonskript hat für mich die Zählung und Markierung übernommen...

Oder um zu sehen, was noch so alles passieren kann, das Beispiel mit $\begin{eqnarray*} a=100,n=4^2,r=10,n'=53^2,r'=0.7 \end{eqnarray*}$ mit genau 1240 vollständigen Überlappungen:

[attach]57727[/attach]

23.04.2024, 17:59

Lya_08

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Freude

Freude

Freude

Damit hätte ich nicht gerechnet.

ich hatte noch einen Fehler gemacht, der mir erst jetzt aufgefallen ist

das passt von den Maßeinheiten nicht
s = (x - N^0,5*2*r)/(N^0,5*2*r+1)
nur als Einheiten
? = (m - (N/m^2)^0,5*m)/((N/m^2)^0,5*m)
? = (m - N)/(N)

So passen die Maßeinheiten
s = (x - N^0,5*x*2*r)/(N^0,5*2*r+1)
nur als Einheiten
m = (m - (N/m^2)^0,5*m*m)/((N/m^2)^0,5*m)
m = (m - N*m)/(N)

Anhang wieder erstellt mit SketchUp 2017

23.04.2024, 20:09

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Was willst du mit dem $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ im Nenner? Für $\begin{eqnarray*} N=n^2 \end{eqnarray*}$ Kreise und Quadratseitenlänge $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist der Lücken-Abstand $\begin{eqnarray*} s = \frac{x-2nr}{n+1} \end{eqnarray*}$ , und der Abstand von einem Kreismittelpunkt zum nächsten $\begin{eqnarray*} s+2r = \frac{x+2r}{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Im Beitrag 21.04.2024 19:18 hattest du das schon mal richtig - aber jetzt in den letzten Beiträgen hast du da seltsame, unsinnige Terme reingewurstelt.

23.04.2024, 22:31

Lya_08

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Einheiten müssen ja stimmen, das war mir vorher nicht so aufgefallen.
Das:
s = (x - N^0,5*2*r)/(N^0,5*2*r+1)
passt ja mit den Einheiten beim wegkürzen nicht [ x - N^0,5*2*r ], man kann nur gleiche Einheiten von einander abziehen, da s die Einheit von Meter haben muss.

Das:
s = (x - N^0,5*x*2*r)/(N^0,5*2*r+1)
passt mit den Einheiten, so kann man Meter von Meter abziehen, x - N^0,5*x*2*r

s in Meter, Abstand der Kreis zueinander
n oder n' in Anzahl ohne Einheit
N in Anzahl je Quadratmeter, n/m^2 oder n'/m^2
N^0,5 in Anzahl je Meter, n/m oder n'/m
x in Meter, Durchmesser, Länge oder Breite, ...
r in Meter, Kreisradius

könnte man dieses überhaupt:
>> Ich suche eine allgemeine Gleichung zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit und die Anzahl von Überlagerung von Kreisen. <<
beantworten, obwohl es so doch einfach klingt?

24.04.2024, 04:54

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt sehe ich erst: $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist bei dir keine Anzahl, sondern Anzahl pro Fläche. (Für derartige Intensitäten nimmt man gewöhnlich andere Symbole, z.B. $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ beim Poisson-Prozess.)

Halte ich für ziemlich schräg, da das suggeriert, man könnte hier mit beliebigem $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ operieren. Tatsächlich sind bisher alle deine Betrachtungen nur für Anzahlen $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ geeignet, also Quadratzahlen - meine diesbezügliche Anfrage, wie die Kreiskonfigurationen für andere Anzahlen aussehen sollen, hast du ja bisher nicht beantwortet.

Zitat:

Original von Lya_08
>> Ich suche eine allgemeine Gleichung zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit und die Anzahl von Überlagerung von Kreisen. <<
beantworten, obwohl es so doch einfach klingt?

Einfach klingen und einfach sein sind verschiedene Dinge. Die beiden von mir geplotteten Beispiele zeigen exemplarisch, mit welchen Schwierigkeiten man sich auseinander setzen muss, wenn man das wirklich in einer allgemeinen Formel bändigen will. Ich will nicht ausschließen, dass man sowas angeben kann, aber ich stell mir allein das Werkeln daran ziemlich furchtbar vor.

Für kleine Kreisanzahlen (also so unter $\begin{eqnarray*} 10^6 \end{eqnarray*}$ ) kann man das ganz gut auch von einem Skript zählen lassen (mit oder ohne Plot) - das wäre meine pragmatische Lösung.

Es ergeben sich z.B. bei nur leichter Variation der Anzahlen ziemlich verschiedene Muster:

So hatte ich oben $\begin{eqnarray*} n=40^2,r=1,n'=53^2,r=0.7 \end{eqnarray*}$ geplottet. Jetzt lasse ich alles so außer $\begin{eqnarray*} n'=54^2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} n'=55^2 \end{eqnarray*}$ , das Ergebnis sind 132 bzw. 100 überlappende kleine Kreise.

[attach]57735[/attach] [attach]57736[/attach]

25.04.2024, 21:09

Lya_08

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme bei mir immer N,n als Variabel wenn x vergeben ist.

-----

als Beispiel Berechnung der Anzahl x (nur die farbigen) von Sechsecken deren Abstand zu einender immer ein Sechseck ist ausgehend von den zentrierten Sechseckszahlen.

Da war dieses dann wohl einfacher mit ceiling() und floor() passt x Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.04.2024, 06:31

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt musst du uns nur noch erklären, was das mit deinem Ursprungsproblem zu tun hast: Du solltest die Leser auch mitnehmen bei deinen Gedankensprüngen.

27.04.2024, 11:11

Lya_08

Auf diesen Beitrag antworten »

Das war nur ein Beispiel und hat mit dem Ursprung soweit nur die Verwendung der Zeichen gleich.

Da man wohl
>> Ich suche eine allgemeine Gleichung zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit und die Anzahl von Überlagerung von Kreisen. <<

so einfach keine Lösung finden wird, so würde ich es in die mathematischen Millenniums Probleme mit aufnehmen wollen.

Es klinkt recht einfach in der Fragestellung, es erweist sich aber doch als recht komplex in der Lösungsfindung.

27.04.2024, 12:06

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Probleme Mathematiker*innen für wichtig halten und womit sie sich die nächsten 1000 Jahre beschäftigen wollen, das darf jede*r einzelne Mathematiker*in für sich entscheiden. Wohin sich die Mathematik entwickeln wird, kann man nicht vorher wissen. Letztlich trifft die Schwarmintelligenz die Entscheidung, was wichtig ist, und das geistige Vermögen der Beteiligten entscheidet darüber, welche Probleme formuliert und gelöst werden.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »