Integrierbarkeit zeigen

21.04.2024, 21:36	shining12	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrierbarkeit zeigen Meine Frage: Moin es geht um die Funktion f welche auf [0,1] definiert ist, durch f(x)=2^-n , falls x = k/2^n für n aus N und k aus {1,3,5....,2^n -^1}. Im Anhang ist ein Versuch von mir zu zeigen dass diese Funktion (riemann-) Integrierbar ist. Ist der Beweis vollständig oder habe ich einen Denkfehler? Meine Ideen: Meine Idee war es die Integrierbarkeit durch die Tatsache dass es für ein beliebiges M nur (wenn überhaupt) endlich viele x aus [0,1] gibt mit f(x)>M.
22.04.2024, 06:26	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Dumm nur, dass du die Funktion f an fast allen Stellen undefiniert lässt: Was ist mit all den irrationalen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , oder auch den rationalen $\begin{eqnarray} x=\frac{p}{q} \end{eqnarray}$ , deren Nenner $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ keine Zweierpotenz ist? Deren Funktionswerte bestimmen maßgeblich den Integralwert - sowohl bei Lebesgue- als auch Riemannintegral (so sie denn überhaupt dann existieren).
22.04.2024, 11:57	shining122	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Fehler f ist sonst 0
23.04.2024, 08:01	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, der Beweis geht soweit in Ordnung. Ich würde noch folgende Vereinfachung vorschlagen: $\begin{eqnarray} \psi(x) = \begin{cases} 1 & \mbox{ falls } x=\frac{k}{2^n} \mbox{ und }2^{-n} > \varepsilon\\ \varepsilon & \mbox{ sonst }\end{cases} \end{eqnarray}$ Dann kann man eine Intervall-Zerlegung des Integrationsgebiets [0,1] finden, welche die endlich vielen $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ im oberen Fall durch Intervalle der Gesamtlänge $\begin{eqnarray} <\varepsilon \end{eqnarray}$ abdeckt, womit die Riemann-Obersumme des $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ -Integrals $\begin{eqnarray} <2\varepsilon \end{eqnarray}$ wird.
23.04.2024, 17:05	shining12	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke. Und ja wenn man die Funktion so definiert wird es auf jeden fall nochmal präziser.

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