Integral

22.04.2024, 23:57	Trahgeiztensor	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Meine Frage: Hi Vielleicht ist um diese Uhrzeit mein Kopf zu Müde um vernünftig darüber nachzudenken aber ich muss $\begin{eqnarray} \int_{-unendlich}^{unendlich} \! x^{2}e^{-t^{2}x^{2}} \, dx \end{eqnarray}$ integrieren Meine Ideen: Kann ich da jetzt folgende Identität verwenden die halt nur die Grenzen 0 bis unendlich hat?
23.04.2024, 06:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, die Formel paßt nicht. Schuld daran ist das $\begin{align} x^2 \end{align}$ im Exponenten. Für $\begin{align} t=0 \end{align}$ divergiert das Integral. Wegen des Quadrats darf man $\begin{align} t>0 \end{align}$ annehmen. Wenn man $\begin{align} u=tx \end{align}$ substituiert, wird daraus $\begin{align} \int_{- \infty}^{\infty} x^2 \operatorname{e}^{-t^2 x^2} ~ \dd x \ = \ \frac{1}{t^3} \int_{- \infty}^{\infty} u^2 \operatorname{e}^{-u^2} ~ \dd u \end{align}$ Jetzt leite einmal $\begin{align} \operatorname{e}^{-u^2} \end{align}$ ab und forme das Integral so um, daß ein günstiger Ansatz für eine partielle Integration entsteht. Am Schluß wirst du ohne Kenntnis des Gaußschen Fehlerintegrals nicht auskommen.
23.04.2024, 09:36	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit Stochastik-Kenntnissen zur Normalverteilung könnte man so vorgehen: Für $\begin{eqnarray} X\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{1}{2t^2}\right) \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} E(X)=0 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \frac{1}{2t^2} = V(X) = E\left(X^2\right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot \frac{1}{2t^2}}}\cdot \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-\frac{x^2}{2\cdot \frac{1}{2t^2}}} ~ \dd x \end{eqnarray}$ , umgestellt $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-t^2 x^2} ~ \dd x = \frac{\sqrt{\pi}}{2t^3} \end{eqnarray}$ .
23.04.2024, 12:18	Trahgeiztensor	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral Irgendwie hilft. Mir das nicht das integral sollte die varianz darstellen und mit dem gauuschen fehlerintegral komme ich auf 0 das sollte eigentlich ja nicht so sein Mit e^(-u^2) ableiten macht es das integral nur noch schlimmer
23.04.2024, 12:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du marschierst bei der partiellen Integration in die verkehrte Richtung. Angewandt wird sie mit $\begin{eqnarray} f=e^{-u^2},g=u \end{eqnarray}$ , dann bekommt man eingesetzt in $\begin{eqnarray} \int f'g ~ \dd u = fg - \int fg' ~ \dd u \end{eqnarray}$ die Gleichung $\begin{eqnarray} \int (-2u)e^{-u^2}\cdot u ~ \dd u = ue^{-u^2} - \int e^{-u^2}\cdot 1 ~ \dd u \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int u^2e^{-u^2} ~ \dd u = -\frac{1}{2} ue^{-u^2} + \frac{1}{2} \int e^{-u^2} ~ \dd u \end{eqnarray}$ . P.S.: Deine Satzinterpunktion ist befremdlich.

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