Definition einer Topologie

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24.04.2024, 11:41

Malcang

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Definition einer Topologie

Hallo zusammen smile

ich lerne aktuell Topologie und stolpere bei einer Sache in der Definition.

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine Menge und $\begin{eqnarray*} \mathcal{O} \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge der Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .
Dann nennt man $\begin{eqnarray*} \mathcal{O} \end{eqnarray*}$ eine Topologie auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , wenn:
i) $\begin{eqnarray*} \emptyset, X\in\mathcal{O} \end{eqnarray*}$
ii) $\begin{eqnarray*} U,V \in\mathcal{O} \Rightarrow U \cap V\in\mathcal{O} \end{eqnarray*}$
iii) $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}\subseteq\mathcal{O} \Rightarrow \bigcup\limits_{A\in\mathcal{A}}A\in\mathcal{O} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht, warum der Punkt ii nur mit zwei Mengen U und V formuliert ist, aber der Punkt iii mit endlich vielen Mengen.

Kann ich nicht ii auch formulieren als

Zitat:

ii) $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}\subseteq\mathcal{O} \Rightarrow \bigcap\limits_{A\in\mathcal{A}}A\in\mathcal{O} \end{eqnarray*}$

24.04.2024, 12:27

HAL 9000

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Punkt iii) ist nicht nur mit endlich vielen, sondern beliebig vielen Mengen möglich (sogar überabzählbar viele).

Bei Punkt ii) wird das explizit nicht gefordert - nehmen wir nur mal die reellen Zahlen mit der üblichen euklidischen Metrik, da wäre es verheerend, wenn man unendliche Durchschnitte zulassen würde: Denn dann müsste

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{n=1}^{\infty} \left(x - \frac{1}{n} , x + \frac{1}{n}\right) \stackrel{!}{=} \left\{ x\right\} \end{eqnarray*}$

dann auch eine "Umgebung" des Punktes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sein - das zerstört de fakto das gesamte Topologiegebäude, wie wir es kennen...

Dass mit Zweier-Schnitten dann automatisch auch beliebige endliche Durchschnitte erlaubt sind, ist klar und muss nicht extra erwähnt werden.

24.04.2024, 13:25

Malcang

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Hi HAL,

vielen Dank erstmal.
Mein "Problem" ist, dass ich denke, die beiden Punkte sind grundverschieden; also es geht nicht nur um $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ .
Wenn ich doch von einer Topologie $\begin{eqnarray*} \mathcal{O} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ spreche, hat diese doch ohnehin nur endlich viele Elemente.
Könnte man iii nicht daher auch formulieren als $\begin{eqnarray*} U,V\in\mathcal{O} \Rightarrow U\cup V\in\mathcal{O} \end{eqnarray*}$ ?

24.04.2024, 13:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von Malcang
Wenn ich doch von einer Topologie $\begin{eqnarray*} \mathcal{O} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ spreche, hat diese doch ohnehin nur endlich viele Elemente.

In der Regel stimmt das nicht: Jede auch nur einigermaßen nichttriviale Topologie besteht aus unendlich vielen Elementen.

24.04.2024, 13:45

Malcang

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Zitat:

Original von HAL 9000
In der Regel stimmt das nicht: Jede auch nur einigermaßen nichttriviale Topologie besteht aus unendlich vielen Elementen.

Ich bin davon ausgegangen, dass die Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ endlich ist, und die Topologie damit höchstens $\begin{eqnarray*} 2^{|X|} \end{eqnarray*}$ Elemente haben kann.

Das hat es erklärt, vielen Dank smile

24.04.2024, 13:48

HAL 9000

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Hmm, Topologien auf endlichen Mengen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ kann man zwar betrachten, aber sie sind trivial und eher uninteressant.

24.04.2024, 14:02

Malcang

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Zitat:

Original von HAL 9000
Dass mit Zweier-Schnitten dann automatisch auch beliebige endliche Durchschnitte erlaubt sind, ist klar und muss nicht extra erwähnt werden.

Zu meinem Verständnis: Könnte ich eine Topologie dann auch definieren durch

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine Menge und $\begin{eqnarray*} \mathcal{O} \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge der Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .
Dann nennt man $\begin{eqnarray*} \mathcal{O} \end{eqnarray*}$ eine Topologie auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , wenn:
i) $\begin{eqnarray*} \emptyset, X\in\mathcal{O} \end{eqnarray*}$
ii) $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}\subseteq\mathcal{O}, \mathcal{A} \text{ endlich} \Rightarrow \bigcap\limits_{A\in\mathcal{A}}A\in\mathcal{O} \end{eqnarray*}$
iii) $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}\subseteq\mathcal{O} \Rightarrow \bigcup\limits_{A\in\mathcal{A}}A\in\mathcal{O} \end{eqnarray*}$

24.04.2024, 14:04

HAL 9000

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Ja, das ist in Ordnung.

24.04.2024, 14:12

Malcang

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Super. Danke sehr! Freude

24.04.2024, 15:15

HAL 9000

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Ich weiß nicht wie und womit du deine Topologien "lernst", aber du solltest dir begleitend zu derlei Definitionen immer auch einige gängige Beispiele anschauen - nur so begreift man m.E. den Sinn mancher dieser Definitionen. Als eines der wichtigsten Beispiele sicher die Topologie, die durch eine gegebene Metrik $\begin{eqnarray*} d:~X\times X\to \mathbb{R}_+ \end{eqnarray*}$ induziert wird - noch konkreter z.B. $\begin{eqnarray*} X=\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ mit euklidischer Metrix $\begin{eqnarray*} d(x,y) = \|x-y\| \end{eqnarray*}$ .

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