Hauptachsentransformation - Verschiebungsvektor

24.04.2024, 18:03	INd3339jD	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptachsentransformation - Verschiebungsvektor Hi, ich finde leider nichts dazu im Internet oder im Skript, auch ChatGPT hilft mir nicht weiter... Gegeben ist eine Quadrik $\begin{eqnarray} x_1^2+x_1x_2+x_2^2+2x_1-5 \end{eqnarray}$ Die folgenden Matritzen habe ich schon $\begin{eqnarray} A'=S^TAS \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & \frac {1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S=\begin{pmatrix} \frac{1} {\sqrt{2}} & - \frac{1} {\sqrt{2}} \\ \frac{1} {\sqrt{2}} & \frac{1} {\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und die erweiterte Matrix von q' $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0& -5 & -\frac{\sqrt{5}} {2} \\ 0 & -\frac{\sqrt{5}} {2} & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun soll ich den Verschiebungsvektor $\begin{eqnarray} t=\begin{pmatrix} 0 \\ - \frac{1}{2 \sqrt{5}} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und die erweiterte Matrix von q'' = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{3}{4} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Ich hab nicht die leiseste Ahnung was hier geschieht und ich finde absolut gar nichts dazu. Das einzige was mir aufgefallen ist, ist dass der zweite Eintrag aus vektor t multipliziert mit dem Bruch aus dem Vektor von q' 1/4 ergibt und das plus -1 = -3/4 ist. Aber was das bedeutet... Mein Skript liefert gar nichts, ich finde kein Video, keine Anleitung, ich weiß echt nicht, was ich machen soll.... Vielen Dank für eure Hilfe.
25.04.2024, 10:41	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Berechnung von $\begin{eqnarray} A',S \end{eqnarray}$ ist nachvollziehbar - was du danach treibst, ist schleierhaft. Ich weiß überhaupt nicht, was du mit "erweiterter Matrix" hier im Zusammenhang mit Hauptachsentransformation meinst? Und unter Verschiebungsvektor versteht man gewöhnlich den Mittelpunkt der Quadrik, der liegt hier aber bei $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -\frac{4}{3}\\ \frac{2}{3}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Also mal ganz von vorn: Was ist denn die eigentlich geforderte Aufgabe zu dieser Quadrik?
25.04.2024, 18:29	hawe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, es könnte der Übergang zu homogenen Koordinaten gemeint sein. https://www.geogebra.org/m/avznhsff also die Gleichung in Matrixform homogene Koordinaten-Formen (S Drehung Achsenparallel, T Translation in Ursprung $\begin{eqnarray} \small \vec x^T A\; \vec x = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \small \left(\begin{array}{rrr}x&y&1\\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}1&0.5&1\\0.5&1&0\\1&0&-5\\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x\\y\\1\\ \end{array}\right)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \small \vec x^T S^T A\;S \; \vec x = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \small \left(\begin{array}{rrr}x&y&1\\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\0&0&1\\\end{array}\right)^T \left(\begin{array}{rrr}1&0.5&1\\0.5&1&0\\1&0&-5\\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\0&0&1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x\\y\\1\\ \end{array}\right)=0 \ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \small \vec x^T (S T)^T A\; (S T) \; \vec x = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \small \left(\begin{array}{rrr}x&y&1\\ \end{array}\right) \left( \left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\0&0&1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}1&0&-\sqrt{2}\\0&1&\frac{-1}{3} \; \sqrt{2}\\0&0&1\\\end{array}\right) \right)^T \left(\begin{array}{rrr}1&0.5&1\\0.5&1&0\\1&0&-5\\ \end{array}\right) \left( \left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\0&0&1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}1&0&-\sqrt{2}\\0&1&\frac{-1}{3} \; \sqrt{2}\\0&0&1\\\end{array}\right) \right) \left(\begin{array}{r}x\\y\\1\\ \end{array}\right)=0 \ \end{eqnarray}$
26.04.2024, 06:40	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht ganz stimmig, was du da schreibst: Wenn du $\begin{eqnarray} \vec{x} = S \vec{x}' \end{eqnarray}$ ersetzt, dann solltest du dann auch im folgenden $\begin{eqnarray} \vec{x}' \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ verwenden $\begin{eqnarray} 0 = \vec{x}'^T S^T A S \vec{x}' = \vec{x}'^T A' \vec{x}' \end{eqnarray}$ usw. Gleiches gilt dann für eine nachgeschobene Translation $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ , wo sich dann wohl $\begin{eqnarray} \vec{x}'' \end{eqnarray}$ ergibt... Egal, jedenfalls ergeben sich auch auf diesem Weg nicht die mir rätselhaften $\begin{eqnarray} \sqrt{5} \end{eqnarray}$ -Terme aus dem Eröffnungsposting. Meine Vermutung ist, dass dort die Musterlösung einer anderen Aufgabe versehentlich reingewurstelt wurde.

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