Beweis verschiedener Definitionen des Median

24.04.2024, 21:06

TheWind5urfer

Beweis verschiedener Definitionen des Median

Guten Tag,

ich schreibe derzeit einen Bericht, der zwei Definitionen für den Median enthält.

Definition 1 (nach Universität):
Ein Wert x heißt Median oder auch Zentralwert einer mindestens ordinal skalierten Stichprobe, falls mindestens die Hälfte der Werte der Stichprobe kleiner oder gleich x sind und mindestens die Hälfte der Werte der Stichprobe größer oder gleich x sind.

Definition 2 (für die Schule):

Wir erstellen zu unserer Stichprobe (mindestens ordinal skaliert) eine Rangliste (geordnete Stichprobe). Dann definieren wir:

$\begin{eqnarray*} x_{\tfrac{1}{2}}:= x_{\tfrac{n+1}{2}}, \ \text{falls n ungerade} \end{eqnarray*}$ beziehungsweise
$\begin{eqnarray*} x_{\tfrac{1}{2}}:= \tfrac{x_{\tfrac{n}{2}}+x_{\tfrac{n+1}{2}}}{2} \text{ , falls n gerade} \end{eqnarray*}$

Der Median x aus Definition 1 wird durch x(1/2) in Definition dargestellt. Dies gelte für eine Menge mit n Elementen. Es sei nun zu zeigen, dass die Definition aus der Schule die Definition der Universität erfüllt. Dies soll bewiesen werden. Ich habe es versucht, es wurde aber als falsch gekennzeichnet.

Mein Vorschlag: Die Fallunterscheidung untersuchen. Zuerst nehme man ein ungerades n=2k+1 an. Dann gilt

$\begin{eqnarray*} x_{\tfrac{1}{2}}:=x_{k+1} \end{eqnarray*}$

Dies entspricht also dem k+1 Wert der Menge. Das wäre der Wert, für den mind. die Hälfte der Werte unter und mind. die Hälfte der Werte über dem Wert liegt. Dies entspricht der Definition des Medians.

Für ein gerades n liegt der Median zwischen dem nten und (n+1)ten Wert der Menge. Dann lassen sich dieselben Aussagen treffen wie oben. Somit erfüllt der Median die Definition der Universität. (Ich schrieb hier, der Median wäre eindeutig definiert. Dies wurde als Fehler gekennzeichnet, vermutlich weil diese Definition auch mehrere Mediane zulässt?).

Könntet ihr dort bitte einmal rüberschauen und mir sagen, was fehlt/falsch ist?

Beste Grüße

25.04.2024, 05:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von TheWind5urfer
Ich schrieb hier, der Median wäre eindeutig definiert. Dies wurde als Fehler gekennzeichnet, vermutlich weil diese Definition auch mehrere Mediane zulässt?

So ist es: Im Fall $\begin{eqnarray*} n=2k \end{eqnarray*}$ erfüllt jeder Wert aus dem Intervall $\begin{eqnarray*} \left[x_k,x_{k+1}\right] \end{eqnarray*}$ die Median-Definition 1.

Geht es darum, auch in diesem Fall " $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gerade" einen eindeutigen Median-Wert zu benennen, nimmt man üblicherweise den Intervallmittelpunkt, was dann in Definition 2 auch geschieht.

P.S.: Übrigens, falls zufällig auch $\begin{eqnarray*} x_k=x_{k+1} \end{eqnarray*}$ gilt, kann auch in diesem Fall $\begin{eqnarray*} n=2k \end{eqnarray*}$ der Median gemäß Definition 1 eindeutig sein. Augenzwinkern

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