Sind holomorphe Funktionen, die (keine) reellen Werte annehmen, konstant?

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Math4000 Auf diesen Beitrag antworten »
Sind holomorphe Funktionen, die (keine) reellen Werte annehmen, konstant?
Meine Frage:
Sind holomorphe Funktionen, die (keine) reellen Werten annehmen, konstant?
Dabei ist die Funktion auf einem offenen Kreisbereich um die 0 definiert.

Meine Ideen:
Über die Cauchy-Riemann DGL's u_x=v_y, -v_x=u_y
Ist mit keine reellen Werte nur imaginäre Werte gemeint?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dafür lassen sich einfache Gegenbeispiele angeben, z.B. die auf dem offenen Einheitskreis definierte und dort holomorphe Funktion :

Die nimmt auf keine reellen Werte an, und ist offensichtlich nicht konstant.
Math4000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sind holomorphe Funktionen, die (keine) reellen Werten annehmen, konstant?
Ok danke für das Gegenbeispiel für holomorphe Funktionen auf dem Kreis um die 0, die keine reellen Werte annimmt. Aber wie sieht es mit holomorphen Funktionen aus, die nur reelle Werte annimmt auf dem Kries um die 0. Die müssten doch immer konstant sein gemäß der DGL?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Math4000
Aber wie sieht es mit holomorphen Funktionen aus, die nur reelle Werte annimmt auf dem Kries um die 0.

Ok, das ist eine neue Aufgabe. Zerlegen wir in Real- und Imaginärteil, so müssen für holomorphe ja die Cauchy-Riemann-DGL gelten:

und

Für dein haben wir nun konstant und damit gemäß dieser DGL dia Aussage , das geht nur mit konstanten .
Math4000 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, danke, d.h. bei holomorphen Funktionen mit reellen Werten ist die Funktion konstant. Bei holomorphen Funktion die nicht reelle Werte annehmen, muss die Funktion nicht konstant sein, siehe Gegenbeispiel.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Anders sieht es aus bei ganzen Funktionen, d.h. auf ganz holomorphen Funktionen: Da sagt der Satz von Picard, dass solche Funktionen, sofern sie nicht konstant sind, alle komplexen Zahlen mit Ausnahme höchstens eines Wertes annehmen müssen, darunter sind dann selbstredend auch alle reellen Zahlen (mit ggfs. wieder einer Ausnahme).
 
 
Math4000 Auf diesen Beitrag antworten »

Und weshalb ist die genannte Funktion f(z)=z+2i, welche auf dem Einheitskreis definiert ist, holomorph?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitung von z+c ist konstant 1, also ist z+c überall differenzierbar, also holomorph auf jedem Gebiet.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Math4000

Da du es noch nicht zu wissen scheinst: Beweis doch mal als kleine Übung, dass sämtliche Polynomfunktionen ganze Funktionen sind.
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