Gleichmäßige Konvergenz der Funktionenreihen e^(-n(x^2+2sin(x)))

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27.04.2024, 23:59	Profaal	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Konvergenz der Funktionenreihen e^(-n(x^2+2sin(x))) Meine Frage: Bestimmen Sie, ab die Funktionenreihe SUMMEn=1,unendlich (e^(-n(x^2+2sin(x))) gleichmäßig auf (0,1] bzw. [1, unendlich) konvergiert. Meine Ideen: Für das zweite Intervall habe ich Weierstraß benutz und gle8chmäßige Konvergenz festgestellt. Aber beim ersten Intervall divergiert die Supremumsnorm der Funktion, sodass diese Abschätzung nach oben nicht funktioniert...
28.04.2024, 09:35	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz der Funktionenreihen e^(-n(x^2+2sin(x))) Bei einer konvergenten Reihe bilden die Reihenglieder eine Nullfolge
28.04.2024, 09:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz der Funktionenreihen e^(-n(x^2+2sin(x))) Das mit der Divergenz ist auch kein Zufall, dort herrscht auch keine gleichmäßige Konvergenz (nur eine lokal-gleichmäßige Konvergenz). Du kannst es auch ohne Abschätzung direkt mit der Definition und der Formel für geometrische Reihen zeigen. Edit: Hab ich so lange geschrieben? Sorry @URL
28.04.2024, 11:07	Profaal03	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz der Funktionenreihen e^(-n(x^2+2sin(x))) Aber wie würde ich das mit der Definition machen? Ich habe schon versucht, die geometrische Reihe zu bilden und dann den Betrag aus der Differenz dieser Grenzfunktion und der geometrischen Reihe bis zum nten Glied kleiner Epsilon zu setzen. Da komme ich aber auf einen Ausdruck, den ich nicht unabhängig von x bekomme, es sei denn ich schätze mit 0 ab, dann aber divergiert die Reihe. Gleichzeitig ist 0 aber auch nicht im Definitionsbereich, bildet aber trotzdem das Supremum in der Reihe... Ich bin da etwas ratlos... Willkommen im Matheboard! Du bist nun zweimal angemeldet, Profaal wird daher demnächst gelöscht. Viele Grüße Steffen
28.04.2024, 12:03	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz der Funktionenreihen e^(-n(x^2+2sin(x))) Du willst es ja auch nicht unabhängig von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ bekommen, denn auf dem Intervall konvergiert es nicht gleichmäßig. Du willst es nach unten abschätzen und zeigen, dass es auch nicht gegen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ konvergiert. Für jede Folge $\begin{eqnarray} (x_n) \subset (0,1] \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \sup_{x \in (0,1]} \| f_n(x) - f(x) \| \geq \| f_n(x_n) - f(x_n) \| \end{eqnarray}$ . Das Ziel ist es, das $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ zu wählen, dass $\begin{eqnarray} \| f_n(x_n) - f(x_n) \| \end{eqnarray}$ nicht gegen 0 konvergiert. Hier ist es nicht zu schwer es gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ divergieren zu lassen.
28.04.2024, 12:12	Profaal03	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz der Funktionenreihen e^(-n(x^2+2sin(x))) Dass ich eine Folge xn finden muss ist für mich auch logisch, nur finde ich keine... 1/n under 1/√n funktionieren nicht. Immer, wenn ich eine Folge wähle, sodass -nx^2 nicht gegen unendlich geht, geht -2nsin(x) gegen unendlich (L'hopital)... (Den Term, den ich zum Schluss rauskriege ist e^(-k(x^2+2sin(x))))
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28.04.2024, 12:25	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz der Funktionenreihen e^(-n(x^2+2sin(x))) Es ist $\begin{eqnarray} \sin x \leq x \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0 < x \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} e^{-n(x^2+2sin(x))} \geq e^{-n(x^2+2x)} \geq e^{-2nx} \end{eqnarray}$ .
28.04.2024, 13:34	Profaal03	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz der Funktionenreihen e^(-n(x^2+2sin(x))) Ich glaube, diese Abschätzung ist falsch... e^-3nx <= e^-2nx
28.04.2024, 17:04	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz der Funktionenreihen e^(-n(x^2+2sin(x))) Auf (0,1] ist aber $\begin{eqnarray} x^2+2x\leq 3x \end{eqnarray}$
28.04.2024, 18:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz der Funktionenreihen e^(-n(x^2+2sin(x))) Mein Fehler ja, es sollte besser $\begin{eqnarray} -3nx \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} -2nx \end{eqnarray}$ stehen.

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