Stetigkeit Funktionenreihe n*e^-nx

28.04.2024, 13:58

Profaal03

Stetigkeit Funktionenreihe n*e^-nx

Meine Frage:
Bestimmen Sie ob die Funktionenreihe SUMME,n=1,unendlich(n*e^(-nx)) mit D=(0,unendlich) stetig ist und berechnen Sie
Integral,ln2,ln5(f(x))

Meine Ideen:
Das Integral berechnen ist nicht das Problem, sondern eher zu bestätigen, dass die Grenzfkt stetig ist. Die Grenzfunktion ist stetig, wenn die Funktionenfolge Glieder stetig sind und die Reihe glm konvergent ist. Die Reihe ist aber nach meinem Kenntnisstand nicht glm konvergent, da für x_n=1/n die Reihe divergiert... Wie kann ich sonst, die Stetigkeit oder gleichmäßige Konvergenz bestätigen?

28.04.2024, 16:11

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RE: Stetigkeit Funktionenreihe n*e^-nx
Stetigkeit ist eine punktweise Definition. Für beliebiges $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ zeigt man die gleichmäßige Konvergenz auf $\begin{eqnarray*} [a/2,\infty) \end{eqnarray*}$ , hat damit die Stetigkeit auf diesem Invervall und damit insbesondere in a

29.04.2024, 13:02

Profaal03

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RE: Stetigkeit Funktionenreihe n*e^-nx
Und wie würde das aussehen?

29.04.2024, 14:24

HAL 9000

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Im vorliegenden Fall kann man die Reihe explizit ausrechnen: Für $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} nz^n = z\sum_{k=0}^{\infty} (k+1)z^k = \frac{z}{(1-z)^2} \end{eqnarray*}$ und daher

$\begin{eqnarray*} f\left(x\right) = \sum_{n=1}^{\infty} n\cdot e^{-nx} = \sum_{n=1}^{\infty} n\cdot \left(e^{-x}\right)^n = \frac{e^{-x}}{\left(1-e^{-x}\right)^2} = \frac{e^x}{\left(e^x-1\right)^2} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ .

Mit Substitution $\begin{eqnarray*} u=e^x \end{eqnarray*}$ ergibt sich $\begin{eqnarray*} \dd u = e^x ~ \dd x \end{eqnarray*}$ und damit dann $\begin{eqnarray*} \int\limits_{\ln(2)}^{\ln(5)} f(x) ~ \dd x = \int\limits_{\ln(2)}^{\ln(5)} \frac{e^x}{\left(e^x-1\right)^2} ~ \dd x = \int\limits_2^5 \frac{\dd u}{\left(u-1\right)^2} = \left[ -\frac{1}{u-1} \right]_{u=2}^5 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ .

29.04.2024, 15:31

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RE: Stetigkeit Funktionenreihe n*e^-nx

Zitat:

Original von Profaal03
Und wie würde das aussehen?

Nun ja, genau so, wie ich gesagt habe. Ich verstehe die Frage nicht verwirrt

29.04.2024, 16:38

Profaal03

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Vielen vielen Dank smile

Kann es sein, dass Du e^-x zu einem e^x werden lassen hast?

29.04.2024, 17:09

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Profaal03
Vielen vielen Dank

Kannste laut sagen bei dieser Komplettlösung.

Zitat:

Original von Profaal03
Kann es sein, dass Du e^-x zu einem e^x werden lassen hast?

Nicht doch.

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{-x}}{\left(1-e^{-x}\right)^2} = \frac 1 {e^x \cdot \left( 1- \frac 2{e^x}+ \frac 1 {e^{2x}} \right) } = \dots \end{eqnarray*}$

29.04.2024, 18:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Profaal03
Kann es sein, dass Du e^-x zu einem e^x werden lassen hast?

Allerdings - aber nicht durch Zauberhand, sondern durch äquivalente Umformung (erweitern):

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{-x}}{\left(1-e^{-x}\right)^2} = \frac{e^{-x}\cdot \left(e^x\right)^2}{\left(1-e^{-x}\right)^2\cdot \left(e^x\right)^2} = \frac{\left( e^{-x}\cdot e^x\right)\cdot e^x}{\left(\left(1-e^{-x}\right)\cdot e^x\right)^2} = \frac{e^x}{\left(e^x-1\right)^2} \end{eqnarray*}$

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