Verhältnis Seite zu Sinus des Gegenwinkels in einem Dreieck

30.04.2024, 08:10

gerdi

Verhältnis Seite zu Sinus des Gegenwinkels in einem Dreieck

Meine Frage:
Es geht um den Beweis folgender Aussage: In jedem Dreieck ist der Qoutient aus der Länge einer Seite und dem Sinus des dieser Seite gegenüberliegenden Winkel gleich der Länge des Durchmessers des Umkreises.

Meine Ideen:
Ich habe mir eine Skizze angefertigt un den Umkreis eingezeichnet. Ich denke mit dem Mittelpunkt des Umkreises und den Eckpunkten des Dreiecks erbigt sich jeweils ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Radius des Umkreises als Seitenlängen. Aber dann komme ich leider nicht weiter ??

Ich danke euch schon mal im Voraus

30.04.2024, 09:14

HAL 9000

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Schon mal was vom Kreiswinkelsatz gehört? Der liefert dir Informationen zu den Winkeln in dem von dir genannten gleichschenkligen Dreieck.

01.05.2024, 09:52

Gualtiero

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Hier ist eine Grafik zu HALs Tipp mit dem Kreiswinkelsatz.

Es verrät noch nichts, aber es zeigt auch, dass zur Lösung nicht mehr viel fehlt.

[attach]57746[/attach]

01.05.2024, 17:28

gerdi

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sorry, aber ich komme nicht zum Ziel. Es geht ja um das Verhältnis von a zu sin(alpha). Das Dreieck BMC ist das gleichschenklige Dreieck mit r als Schenkel. Ich habe leider keine Ahnung, wie ich den Bezug zwischen r und a hinkriege. Es sollte irgendwas mit dem Sinussatz zu tun haben, oder ?
Wie geht es jetzt weiter ?

01.05.2024, 17:34

HAL 9000

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Sei $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ der von Gualtiero zwar eingezeichnete, aber leider nicht benannte Fußpunkt des Lotes von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ auf die Strecke $\begin{eqnarray*} BC \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} CMH \end{eqnarray*}$ ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse $\begin{eqnarray*} |MC|=r \end{eqnarray*}$ und Gegenkathete $\begin{eqnarray*} |HC| = \frac{a}{2} \end{eqnarray*}$ zum Winkel $\begin{eqnarray*} |\angle HMC| = \alpha \end{eqnarray*}$ ... das sollte nun aber wirklich an Tipps reichen. unglücklich