Brennpunkt / Leitlinien Berechnung aus einer Parabel-Gleichung

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Kognitivist Auf diesen Beitrag antworten »
Brennpunkt / Leitlinien Berechnung aus einer Parabel-Gleichung
Meine Frage:
Für folgende Gleichung sind Brennpunkt und Leitlinie zu berechnen:



Als Lösung wird angegeben:

Brennpunkt (x, y) -Koordinaten:



und für die Leitlinie c = x =

Ich komme partout nicht auf die Herleitung dieser Lösung, besonders die "1" im Zähler ist mir völlig rätselhaft.





Meine Ideen:
Den Scheitelpunkt aus der Gleichung zu berechnen gelingt mir gut, und der Scheitelpunkt sieht dem Brennpunkt verdammt ähnlich, in der y-Komponente identisch, nur in der x-Komponente stört diese komische 1 im Zähler....

Scheitelpunkt ist nämlich .

Dann weiß ich noch, dass der Brennpunkt um -c Einheiten von der X-Koordinate des Scheitelpunktes horizontal verschoben ist und um die Y-Koordinate um 0, also nicht verschoben. Okay, wenn ich vom Scheitelpunkt -c abziehe, komme ich trotzdem nicht auf die 1 im Zähler, die in der Lösung verzeichnet wird.

Wo liegt mein Fehler, welchen Weg muss ich bei der Herleitung des Brennpunkts (Fokus) beschreiten?

In den Lösungshinweisen in meinem Lehrbuch (May, Elements of Modern Mathematic), aus der die Aufgabe auch ist, wird nur gesagt, man soll über y das Quadrat vervollständigen - hm?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal ist es ziemlich unglücklich, dass du für die Leitlinie dasselbe Symbol wählst, das bereits als Parameter in der Parabelgleichung Verwendung findet... Nennen wir die Leitlinie besser .


Betrachten wir nun einen Punkt der Parabel: Bei Leitlinie sowie Brennpunkt muss gemäß geometrischer Parabeldefinition gelten, dass der Abstand zur Leitlinie genauso groß ist wie . Gleichsetzen und quadrieren ergibt







Koeffizientenvergleich mit ergibt die Bedingungen





(2) ergibt und (1) zunächst . Beides in (3) eingesetzt erhält man





und damit dann auch .

Also alles in Ordnung - wenn du auf was anderes kommst, dann präsentiere bitte deine Rechnungen, dann können wir den oder die Fehler gemeinsam suchen.

EDIT: Kleinen Verschreiber korrigiert.
Kognitivist Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, genial und einleuchtend.

Du gibst allerdings die Parabelgleichung nicht ganz 100% wieder - sie lautet und nicht - ich denke Du hast Dich da einfach verschrieben...und ich kann das analog auf meine Gleichung übertragen.

Beim Überfliegen Deiner Herleitung habe ich nämlich den Eindruck dass das keinerlei Unterschied macht für den Gleichungsterm rechts.

Ich gehe da heute Nachmittag mal in Ruhe drüber.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das war nur verschrieben. Weiter unten (wo ich es dann ja auch tatsächlich verwendet hatte) stand es bereits richtig.
Kognitivist Auf diesen Beitrag antworten »

Hab's grad doch schon nachgerechnet.
Du nimmst dann beim Rechnen doch die angegebene Parabelgleichung x links und y-Term rechts, ich brauch nix ummodeln.
Hab's kapiert, danke.
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