Näherungsformel

04.05.2024, 07:55

jmd

Näherungsformel

Meine Frage:
Hallo

Gegeben ist die Funktion
$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{a^2+x^2}-a \end{eqnarray*}$
Jetzt soll man ein Nährungsformel finden für
$\begin{eqnarray*} x<<a \end{eqnarray*}$
Da sollte dann das herauskommen
$\begin{eqnarray*} y\approx \frac{x^2}{2a} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht wie man diese findet

Mit der Taylernährung komme ich auf

$\begin{eqnarray*} y\approx \frac{x^2}{a} \end{eqnarray*}$

Vielleicht kann mir jemand erklären wie man solche Aufgaben löst

Danke im voraus

Meine Ideen:
keine richtige Idee

04.05.2024, 08:29

HAL 9000

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Z.B. über die dritte binomische Formel gilt $\begin{eqnarray*} b-a = \frac{b^2-a^2}{b+a} \end{eqnarray*}$ , was im vorliegenden Fall für $\begin{eqnarray*} b=\sqrt{a^2+x^2} \end{eqnarray*}$ ergibt

$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{a^2+x^2}-a = \frac{a^2+x^2-a^2}{\sqrt{a^2+x^2}+a} = \frac{x^2}{\sqrt{a^2+x^2}+a} \end{eqnarray*}$

Schätzt man nun rechts im Nenner für $\begin{eqnarray*} |x|\ll a \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+x^2}\approx a \end{eqnarray*}$ ab, so ergibt sich $\begin{eqnarray*} y\approx \frac{x^2}{a+a} = \frac{x^2}{2a} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von jmd
Mit der Taylernährung komme ich auf $\begin{eqnarray*} y\approx \frac{x^2}{a} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch: Auch über Taylor kommt man zu $\begin{eqnarray*} y\approx \frac{x^2}{2a} \end{eqnarray*}$ .

Mit Binomischer Reihe $\begin{eqnarray*} \left(1+t\right)^{\frac{1}{2}} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\frac{1}{2}}{k} t^k \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} t=\frac{x^2}{a^2} \end{eqnarray*}$ angewandt bekommt man

$\begin{eqnarray*} y = a\left( \sqrt{1+\frac{x^2}{a^2}} - 1\right) = a\sum_{k=1}^{\infty} \binom{\frac{1}{2}}{k} \frac{x^{2k}}{a^{2k}} \end{eqnarray*}$

Den Binomialkoeffizienten kann man auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \binom{\frac{1}{2}}{k} = \frac{1}{k!}\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \ldots \left(-\frac{2k-3}{2}\right) \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} k\geq 2 \end{eqnarray*}$ bedeutet das

$\begin{eqnarray*} \binom{\frac{1}{2}}{k} = \frac{(-1)^{k-1}}{k!}\cdot \frac{(2k-3)!!}{2^k} = \frac{(-1)^{k-1}}{k!}\cdot \frac{(2k-2)!}{2^k(2k-2)!!} = \frac{(-1)^{k-1}}{2^{2k-1} k}\cdot \binom{2k-2}{k-1} \end{eqnarray*}$ ,

wobei letzterer Term auch sogar für alle $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt, d.h.

$\begin{eqnarray*} y = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{2^{2k-1} k}\cdot \binom{2k-2}{k-1}\cdot \frac{x^{2k}}{a^{2k-1}} = \frac{x^2}{2a} - \frac{x^4}{8a^3} + \frac{x^6}{16a^5} - \frac{5x^6}{128a^5} \pm \ldots \end{eqnarray*}$ .

04.05.2024, 18:16

klauss

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Je nachdem, aus welchem Fach-Zusammenhang die Aufgabe stammt, könnte auch von
$\begin{eqnarray*} \left(1+x\right)^{n} \approx 1+nx \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x|<<1 \end{eqnarray*}$
Gebrauch gemacht worden sein.

Demnach ( $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{a^{2} +x^{2} }-a=a\left[1+\left(\frac{x^{2} }{a^{2} } \right) \right]^{\frac{1}{2} }-a \approx a \left(1+\frac{x^{2} }{2a^{2} } \right)-a=~... \end{eqnarray*}$

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