Differenzierbarkeit Funktionenreihe e^-nx/(n^2+1)

04.05.2024, 19:27	Robin03	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit Funktionenreihe e^-nx/(n^2+1) Meine Frage: Zeigen Sie, dass die Funktionenreihe SUMME,n=1,unendlich(e^-nx/(n^2+1)) Differenzierbar auf x=(0,unendlich) ist. Meine Ideen: Ich habe schon gezeigt, dass die Reihe gleichmäßig konvergiert. Die Reihe der Ableitungen konvergiert aber nicht gleichmäßig (Gegenbeispiel xn = 1/n). Wie kann ich noch zeigen dass eine unendliche Reihe (speziell diese hier) differenzierbar ist? Gibt es da eine allgemeine Strategie, wenn die Gleichmäßige Konvergenz der Reihe der Ableitungen nicht funktioniert? Komme hier echt nicht weiter
04.05.2024, 20:08	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit Funktionenreihe e^-nx/(n^2+1) Es ist das gleiche Argument wie von URL hier: Stetigkeit Funktionenreihe ne^-nx Differenzierbarkeit ist eine lokale Eigenschaft. D.h. bereits aus der lokal-gleichmäßigen Konvergenz reicht hier für alle Argumente. Es reicht hier also die gleichmäßige Konvergenz auf allen Intervallen der Form $\begin{eqnarray} (a, \infty) \end{eqnarray}$ zu zeigen, für $\begin{eqnarray} a > 0 \end{eqnarray}$ . Damit kannst du das $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ immer gegen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray*}$ nach unten abschätzen für die gleichmäßige Konvergenz auf dem intervall.

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