Normale Untergruppe

06.05.2024, 11:44

KonverDiv

Normale Untergruppe

Hallo

,

Sei $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ eine normale Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ eine normale Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . Ich möchte zeigen, dass dann $\begin{eqnarray*} NH = \left\{nh | n \in N, h \in H \right\} \end{eqnarray*}$ normal ist.

Mein Ansatz:
Wir haben $\begin{eqnarray*} N \triangleleft G \end{eqnarray*}$ , was $\begin{eqnarray*} gng^{-1} \in N \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \in N \end{eqnarray*}$ bedeutet, sowie $\begin{eqnarray*} H \triangleleft G \end{eqnarray*}$ , was $\begin{eqnarray*} ghg^{-1} \in H \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \in H \end{eqnarray*}$ bedeutet. Wir müssten nun zeigen, dass $\begin{eqnarray*} NH \end{eqnarray*}$ normal ist, also $\begin{eqnarray*} NH \triangleleft G \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} gnhg^{-1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \in N, h \in H \end{eqnarray*}$ . Ich hätte nun folgendes versucht: $\begin{eqnarray*} nh = (gng^{-1})(ghg^{-1}) = gnhg^{-1} \in NH \end{eqnarray*}$ , was zeigt, dass $\begin{eqnarray*} NH \end{eqnarray*}$ normal ist.

Geht das so? verwirrt

06.05.2024, 16:39

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Beweise sind immer gut durchdacht und ebenso gut dargestellt. Der Beweis ist perfekt, wenn du weißt, dass NH eine Untergruppe von G ist. Wenn du das nicht weißt, musst du es beweisen.

06.05.2024, 16:54

KonverDiv

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Elvis
Deine Beweise sind immer gut durchdacht und ebenso gut dargestellt. Der Beweis ist perfekt, wenn du weißt, dass NH eine Untergruppe von G ist. Wenn du das nicht weißt, musst du es beweisen.

Hallo Elvis,

vielen Dank erstmal! Freude

Dass $\begin{eqnarray*} NH \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist, hatte ich vorher schon an anderer Stelle bewiesen gehabt.

06.05.2024, 18:47

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut so. Das ist insbesondere deswegen wichtig, weil nicht immer $\begin{eqnarray*} H_1H_2 \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist für Untergruppen $\begin{eqnarray*} H_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H2 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . Es ist genau dann $\begin{eqnarray*} H_1H_2 \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} H_1H_2=H_2H_1 \end{eqnarray*}$ , und das gilt speziell dann, wenn eine der Untergrupppen Normalteiler von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist.

06.05.2024, 20:47

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Normale Untergruppe

Zitat:

Original von KonverDiv
Ich hätte nun folgendes versucht: $\begin{eqnarray*} nh = (gng^{-1})(ghg^{-1}) = gnhg^{-1} \in NH \end{eqnarray*}$ , was zeigt, dass $\begin{eqnarray*} NH \end{eqnarray*}$ normal ist.

Geht das so? verwirrt

Nein, das geht so nicht. In aller Regel wird $\begin{eqnarray*} gnhg^{-1} \end{eqnarray*}$ eben nicht gleich $\begin{eqnarray*} nh \end{eqnarray*}$ sein. Zumal der Beweis, so er richtig wäre, "von rechts nach links" aufgeschrieben ist, statt "von links nach rechts".

Ich würde - mit einem Zwischenschritt, den ich bei Beweisen auf diesem Niveau gar nicht überdeutlich finde - so vorgehen:
Betrachte $\begin{eqnarray*} gnhg^{-1} = gn ~ 1 ~ h g^{-1} = gn(g^{-1}g)hg^{-1} = \underbrace{(gng^{-1})}_{\in N} \underbrace{(ghg^{-1})}_{\in H} \end{eqnarray*}$ . Die Faktoren liegen in den jeweiligen Utnergruppen, da die Untergruppen als normal vorausgesetzt sind. Da $\begin{eqnarray*} NH \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe ist (hast du ja gemäß der vorhergehenden Diskussion bereits bewiesen), liegt somit der gesamte Ausdruck in $\begin{eqnarray*} NH \end{eqnarray*}$ , was zu beweisen war.

07.05.2024, 10:21

KonverDiv

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Normale Untergruppe
Vielen Dank Elvis und jester, mit den Ausführungen von euch kann ich wirklich etwas anfangen! Danke!

Neue Frage »

Antworten »

Normale Untergruppe

Verwandte Themen