Stammfunktion eines Gradientenfeldes

08.05.2024, 12:02

565peter

Stammfunktion eines Gradientenfeldes

Meine Frage:
Gegeben sei der Gradient der Funktion g=(xy^2+2e^{2x}y+p(y), x^2y+4y^3x+q(x))
Mit g von R^2-R
p, q je von R-R alle sind stetig diffbar
Wie lautet die Stammfunktion des Vektorfeldes?

Meine Ideen:
Integrieren, Gleichsetzen

08.05.2024, 12:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von 565peter
Integrieren, Gleichsetzen

Die Idee ist richtig - dann leg mal los! So schwer kann die Integration hier ja nicht sein.

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Die Aufgabe ist etwas missverständlich formuliert - man könnte meinen, dass $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ frei wählbar sind. Tatsächlich ist es aber wohl in dem Sinne gemeint:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ sind reelle stetig differenzierbare Funktionen derart, dass $\begin{eqnarray*} \left(xy^2+2e^{2x}y+p(y),x^2y+4y^3x+q(x)\right) \end{eqnarray*}$ der Gradient $\begin{eqnarray*} \nabla g \end{eqnarray*}$ einer Funktion $\begin{eqnarray*} g:~\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist. Man bestimme dieses $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .

08.05.2024, 12:40

565peter

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Ich hatte es schon probiert, bin aber nur auf eine Konstante gekommen, laut Aufgabe soll es 4 Konstanten geben.

08.05.2024, 13:34

HAL 9000

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Sprich bitte nicht in Rätseln, sondern zeige auch deine Rechnungen, und insbesondere was du mit den vier Konstanten meinst. unglücklich

08.05.2024, 15:07

565peter

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Integrieren von f1(x,y) nach x g(y) bel. Integrationskonstante:
x^2y^2/2+e^(2x)y+p(y)x+g(y)
Ableiten der vorherigen nach y und gleichsetzen mit f2(x,y):
x^2y+e^(2x)+p_y(y)x+g_y(y)=x^2y+4y^3x+q(x)
Auflösen nach g_y(y) und integrieren nach y mit Konstante 0
Ist dies soweit richtig?

08.05.2024, 19:20

565peter

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Die Aufgabe gibt als Hilfe an, dass die Lösung 4 bel. Konstanten enthält.

09.05.2024, 07:41

565peter

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Also ich halte als Lösung für die Stammfunktion
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\frac{x^2y^2}{2}+y^4x+h(x)y \end{eqnarray*}$
was irgendwie nicht stimmt

09.05.2024, 09:42

HAL 9000

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Tatsächlich ist es $\begin{eqnarray*} f(x,y)=\frac{x^2y^2}{2}+y^4x+e^{2x}y+C \end{eqnarray*}$ mit Integrationskonstante $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ .

09.05.2024, 10:57

565peter

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Wenn ich diese Funktion ableite, fehlen doch die Funktionen im Gradient, es steht als Hilfe in der Aufgabe das vier beliebige Konstanten in der Lösung auftreten. D.h. fehlen nicht die Fkt. in der Fkt.

09.05.2024, 12:59

HAL 9000

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Es kotzt mich gelinde gesagt an, dass Leute wie du ständig die Beiträge nicht durchlesen. Zu den Funktionen $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ hatte ich mich oben klar und deutlich geäußert, aber ich wiederhole es gern nochmal:

Zitat:

Original von HAL 9000
Die Aufgabe ist etwas missverständlich formuliert - man könnte meinen, dass $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ frei wählbar sind. Tatsächlich ist es aber wohl in dem Sinne gemeint:

Zitat:

Es geht nicht anders als mit $\begin{eqnarray*} p(y)=y^4 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} q(x)=e^{2x} \end{eqnarray*}$ - alle anderen Funktionen würden dafür sorgen, dass der genannte Vektor kein Gradient ist.

09.05.2024, 13:03

565peter

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Ok danke, sorry für die Umstände, d.h. du hast aber auch keine Ahnung, was die Hilfe mit den 4 Konstanten bedeuten kann?

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