Reihenkonvergenz - Grenzwertiges mit Primzahlen

08.05.2024, 23:12

Conny_1729

Reihenkonvergenz - Grenzwertiges mit Primzahlen

Hallo,
ich habe hier eine Problemstellung, in der es um Primzahlen geht. Die Primzahlen selbst sind dabei weniger von Bedeutung, sondern viel mehr die mittlere Stelle / die beiden benachbarten Stellen in der Mitte einer jeder Primzahl. Man muss daher zwischen Stellenanordnungen mit ungerader und gerader Anzahl unterscheiden.

A) Primzahlen mit ungerader Stellenanzahl n: (n=1; 3; 5,...)
____Z
__X Z X
X X Z X X
. . .

B) Primzahlen mit gerader Stellenanzahl n: (n=2; 4; 6;...)
____Z1 Z2
__X Z1 Z2 X
X X Z1 Z2 X X
. . .

Die erste Primzahl sei P_1=2. Für die anschließenden Primzahlen P_i werden dann folgende Werte zugeordnet:

Im Fall A)
$\begin{eqnarray*} a_{i} \left(P_{i} \right)=\frac{\left [10-Z\right]^2 \space }{10^{2n}} \end{eqnarray*}$

Im Fall B)
$\begin{eqnarray*} a_{i} \left(P_{i} \right)=\frac{\left [10-\frac{Z1+Z2}{2} \space \right]^2 }{10^{2n}} \end{eqnarray*}$

Berechnet werden soll:
$\begin{eqnarray*} g=\sum\limits_{i=1}^{\infty } a_{i} \left(P_{i} \right) \end{eqnarray*}$

Wem also gerade nichts Besseres einfällt, kann sich ja mal daran probieren und versuchen herauszufinden, ob die Summe g größer oder kleiner als der folgende Wert h ist??? Oder ist der benötigte Aufwand gar zu groß, um eine Aussage diesbezüglich treffen zu können?
$\begin{eqnarray*} h=\frac{1}{582}\cdot \left[\frac{699}{\pi }-480+368\cdot \pi \right]= 1.5439943418617072 ... \end{eqnarray*}$

Gruß
Conny

09.05.2024, 09:46

HAL 9000

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Ich stolpere bereits in den ersten Zeilen:

Wenn du von "Stellen in der Mitte einer Primzahl" redest, meinst du da die Ziffern in der Mitte der Dezimaldarstellung (!) dieser Primzahl??? Hättest ja wenigstens ein konkretes Beispiel anbringen können, damit das klar wird, aber Fehlanzeige. unglücklich

Ok, sei $\begin{eqnarray*} M_n = \left\{ P_i \mid 10^{n-1}\leq P_i < 10^n\right\} \end{eqnarray*}$ die Menge der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -stelligen Primzahlen. Dann ist

$\begin{eqnarray*} 0\leq \sum_{p\in M_n} a\left(p\right) \leq \frac{100}{10^{2n}}\cdot |M_n| \leq \frac{9}{10^{n-1}} \end{eqnarray*}$ , mithin per Geometrischer Reihe $\begin{eqnarray*} 0\leq \sum_{P_i\geq 10^n} a\left(P_i\right) \leq \frac{1}{10^{n-1}} \end{eqnarray*}$ .

Mit dieser Abschätzung des Reihenrest weißt du zumindest, wie lange du mühselig deinen absurden Summanden aufaddieren musst, bis du Gewissheit $\begin{eqnarray*} g<h \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} g>h \end{eqnarray*}$ hast.

09.05.2024, 10:12

Conny_1729

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich stolpere bereits in den ersten Zeilen:

Wenn du von "Stellen in der Mitte einer Primzahl" redest, meinst du da die Ziffern in der Mitte der Dezimaldarstellung (!) dieser Primzahl??? Hättest ja wenigstens ein konkretes Beispiel anbringen können, damit das klar wird, aber Fehlanzeige. unglücklich

Entschuldigung! - Ich hätte gleich ein paar Beispiele anführen sollen, die jetzt folgen (für die Stellenanzahl 1 bis 5):

Primzahl 2
Z=2 ; n=1

Primzahl 17
Z1=1 ; Z2=7 ; n=2

Primzahl 347:
Z=4 ; n=3

Primzahl 2029:
Z1=0 ; Z2=2 ; n=4

Primzahl 55579:
Z=5 ; n=5

Gruß Conny

09.05.2024, 12:25

HAL 9000

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Gibt es einleuchtende Gründe für Wert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{582}\cdot \left[\frac{699}{\pi }-480+368\cdot \pi \right] \end{eqnarray*}$ , oder ist das göttliche Eingebung? verwirrt

Immerhin scheint der wahre Reihenwert verdammt nah dran. So nah, dass man sich bei numerischen Rechnungen zur Überprüfung besser nicht mit "double" (53 Bit Mantisse) begnügt. Augenzwinkern

09.05.2024, 13:24

Conny_1729

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Zitat:

Original von HAL 9000
Gibt es einleuchtende Gründe für Wert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{582}\cdot \left[\frac{699}{\pi }-480+368\cdot \pi \right] \end{eqnarray*}$ , oder ist das göttliche Eingebung? verwirrt

Schön wär's, auch wenn ich mich zu den Atheisten zähle. Nein, es handelt sich nur um eine irrationale Zahl, die jedoch an die "Schmerzgrenze" des Rechners gehen könnte. Ich hätte den Wert auch mit nur 16 Nachkommastellen angeben können. Das sollte ausreichend sein.

Gruß Conny

09.05.2024, 13:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von Conny_1729
Das sollte ausreichend sein.

Da bin ich mir hier nicht sicher. verwirrt

Bisher hab ich exakt berechnet $\begin{eqnarray*} \sum_{P_i < 10^{12}} a\left(P_i\right) = 1.543\,994\,341\,861\,627\,929\,953\,362\,5 < g \end{eqnarray*}$ .

Selbst mit der Verbesserung der Reihenrestabschätzung $\begin{eqnarray*} \sum_{P_i \geq 10^n} a\left(P_i\right) < \frac{0.385}{10^{n-1}\cdot n\ln(10)} \end{eqnarray*}$ , was für $\begin{eqnarray*} n=12 \end{eqnarray*}$ ca. $\begin{eqnarray*} 1.39\cdot 10^{-13} \end{eqnarray*}$ ergibt, bekommt man doch nur das nicht ausreichende

$\begin{eqnarray*} g = \sum_{P_i} a\left(P_i\right) < 1.543\,994\,341\,861\,767 \end{eqnarray*}$ ,

denn dein im Eröffnungsposting genannter Wert liegt immer noch in diesem bereits sehr engen Intervall. Erstaunt1

D.h. auch nach exzessiver Berechnung und deutlich besserer Reihenrestabschätzung kann ich immer noch nicht entscheiden, ob $\begin{eqnarray*} g<h \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} g>h \end{eqnarray*}$ gilt. Sollte dieses $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ wirklich exakt dem Reihenwert $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ entsprechen, oder muss man die Berechnung nur einfach tiefer treiben? verwirrt

09.05.2024, 17:09

Conny_1729

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Conny_1729
Das sollte ausreichend sein.

Da bin ich mir hier nicht sicher. verwirrt

Mit dieser Restreihenabschätzung ist quasi der Finger in die Wunde gelegt, wenn man diesem Wert vertrauen möchte (ich habe da etwa $\begin{eqnarray*} 1.30\cdot 10^{-13} \end{eqnarray*}$ abgeschätzt). Ansonsten müsste wahrhaftig weitergerechnet werden, um absolut sicher zu gehen, dass man nichts unter den Tisch hat fallen lassen.

Gruß Conny

11.05.2024, 16:49

Conny_1729

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Zitat:

Original von HAL 9000
...
Bisher hab ich exakt berechnet $\begin{eqnarray*} \sum_{P_i < 10^{12}} a\left(P_i\right) = 1.543\,994\,341\,861\,627\,929\,953\,362\,5 < g \end{eqnarray*}$ .
...
D.h. auch nach exzessiver Berechnung und deutlich besserer Reihenrestabschätzung kann ich immer noch nicht entscheiden, ob $\begin{eqnarray*} g<h \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} g>h \end{eqnarray*}$ gilt. Sollte dieses $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ wirklich exakt dem Reihenwert $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ entsprechen, oder muss man die Berechnung nur einfach tiefer treiben? verwirrt

Man könnte jetzt noch die Primzahlen bis 4 oder 5 Billionen durchrechnen und würde dann sicherlich irgendwann die Schranke für den Wert h knacken. Aber ich denke, an dieser Stelle kann man schon einen Schlussstrich ziehen.

Denn für hinreichend große Zahlen soll ja bzgl. der Primzahldichte gelten:

$\begin{eqnarray*} \frac{0.9}{ln(x)} <\frac{\pi (x)}{x} <\frac{1.1}{ln(x)} \end{eqnarray*}$

D.h., die Primzahldichte unterliegt maximal einer Schwankung von etwa +/- 10%.

https://de.wikipedia.org/wiki/Primzahlsatz#Geschichte

Da schon die Primzahlen bis 10^12 durchgerechnet wurden, wäre ja das nächste Ziel, eine minimale Restsumme abzuschätzen, die für die Primzahlen zwischen 10^12 und 10^13 gelten würde. Zuerst könnte die statistisch zu erwartende Summe für dieses Intervall berechnet werden mit:

$\begin{eqnarray*} R=\frac{\left[\pi(10^{13})-\pi (10^{12})\right] \cdot \sum\limits_{Z=0}^{9} \left(10-Z\right)^2 }{10^{2\cdot 13+1}} = \frac{\left[346065536839-37607912018 \right] \cdot 385}{10^{27}} = 1.18756 \cdot 10^{-13} \end{eqnarray*}$

Wenn man nun als „Worst Case“ annehmen würde, dass zwischen 10^12 und 10^13 genau dort keine Primzahlen existieren sollten, wo die mittlere Dezimalstelle Z=0 ist (trifft keinesfalls zu!!!), dann reduziert sich die Restsumme theoretisch zu:

$\begin{eqnarray*} R^*= R\cdot \frac{\sum\limits_{Z=1}^{9} \left(10-Z\right)^2 }{\sum\limits_{Z=0}^{9} \left(10-Z\right)^2 }=R\cdot \frac{285}{385} = 0.87910 \cdot 10^{-13} \end{eqnarray*}$

und sollte eigentlich nicht kleiner ausfallen können, da hiermit künstlich eine maximale Primzahllücke von 10% geschaffen würde, die den Wert R maximal reduzieren müsste.

Dann wäre:

$\begin{eqnarray*} \sum_{P_i < 10^{12}} a\left(P_i\right) > h-R^* \end{eqnarray*}$

und somit auch bestätigt, dass der Wert h ab einer bestimmten Primzahlgröße innerhalb des betrachteten Intervalls 10^12 ... 10^13 übertroffen wird.

Gruß Conny.

11.05.2024, 18:01

Conny_1729

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Zitat:

Original von Conny_1729

Dann wäre:

$\begin{eqnarray*} \sum_{P_i < 10^{12}} a\left(P_i\right) > h-R^* \end{eqnarray*}$

und somit auch bestätigt, dass der Wert h ab einer bestimmten Primzahlgröße innerhalb des betrachteten Intervalls 10^12 ... 10^13 übertroffen wird.

Nein, ich muss mich korrigieren. Bestätigt wäre es immer noch nicht, denn das ist ja lediglich eine reine statistische Aussage. Und in der Mathematik gilt ja stets die Möglichkeit: Schlimmer geht immer! Und das wäre hier auch immer noch möglich! - Also bleibt alles nur Spekulation, so lange nicht weitergerechnet wird.

Gruß Conny

11.05.2024, 23:39

Conny_1729

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Zitat:

Original von Conny_1729

...
Zuerst könnte die statistisch zu erwartende Summe für dieses Intervall berechnet werden mit:

$\begin{eqnarray*} R=\frac{\left[\pi(10^{13})-\pi (10^{12})\right] \cdot \sum\limits_{Z=0}^{9} \left(10-Z\right)^2 }{10^{2\cdot 13+1}} = \frac{\left[346065536839-37607912018 \right] \cdot 385}{10^{27}} = 1.18756 \cdot 10^{-13} \end{eqnarray*}$
...

Auch wenn die vorangegangene Überlegung völlig nutzlos gewesen ist, an dieser Stelle hätte ich besser die Werte der Primzahlfunktion $\begin{eqnarray*} \pi(x) \end{eqnarray*}$ weggelassen und eher über x/ln(x) ausdrücken sollen. Denn mit der Primzahlfunktion hätte ich ja die genaue Anzahl der Primzahlen gehabt, um eine statistische Aussage ableiten zu können. Aber Statistik ist in diesem Fall leider nicht erlaubt und würde nur (dem Glauben nach) zum Ziel führen.

korrigiert:
$\begin{eqnarray*} R=\frac{\left[\frac{10^{13}}{ln(10^{13})} -\frac{10^{12}}{ln(10^{12})}\right] \cdot \sum\limits_{Z=0}^{9} \left(10-Z\right)^2 }{10^{2\cdot 13+1}} = 1.18756 \cdot 10^{-13} \end{eqnarray*}$

Mir scheint, es gibt da keinen "Hebel" zum Ansetzen, um eine weiterführende "exzessive Berechnung" zu vermeiden.

Gruß Conny.

14.05.2024, 21:33

Conny_1729

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Heute ist mir beim Spaziergang doch noch etwas eingefallen, wie man evtl. eine minimale Restabschätzung erhalten könnte. Dazu wäre es nötig, für jedes Z sämtliche Intervalle durchzurechnen, um die Anzahl der dort befindlichen Primzahlen zu erhalten.

100000 Z 000000
...
999999 Z 999999

mit t = 100000 ... 999999
und Z = 0 ... 9

Als Restsumme ausgedrückt wäre das:

$\begin{eqnarray*} R^*=\sum\limits_{Z=0}^{9} \text{ } \sum\limits_{t=100000}^{999999} \text{ }\left[\frac{(Z+1)\cdot 10^6+t\cdot 10^7}{ln\left[(Z+1)\cdot 10^6+t\cdot 10^7\right] } -\frac{Z\cdot 10^6+t\cdot 10^7}{ln\left[Z\cdot 10^6+t\cdot 10^7\right] } \right] \cdot \frac{(10-Z)^2}{10^{2\cdot 13}}\cdot 0.9 \end{eqnarray*}$

Der Faktor 0.9 reduziert schließlich die Anzahl der berechneten Primzahlen um -10%, damit man auf der sicheren Seite ist und die Mindestanzahl betrachtet.

Als Ergebnis erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} R^*= 1.032 \cdot 10^{-13} \end{eqnarray*}$

Und das wäre ja dann ausreichend groß, um über den Wert h zu kommen. (falls man das so machen darf???)

Gruß Conny.

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