Natürlicher Logarithmus

09.05.2024, 10:23

log1

Natürlicher Logarithmus

Meine Frage:
Hallo

Ich frage mich wo man überall den natürlicher Logarithmus von 1 in der
komplexen Ebene findet
Also
ln(1)=a+bi
Es ist klar dass a=0 ist
Aber was ist b?

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} ln(-1)=\pi i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(1)= ln(-1\cdot -1)=ln(-1)+ln(-1)=2\pi i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(1)= ln(-1\cdot -1\cdot -1\cdot -1)=4ln(-1)=4\pi i \end{eqnarray*}$

Somit wäre b ein positives Vielfaches von $\begin{eqnarray*} 2\pi i \end{eqnarray*}$

b kann demnach nicht Null sein

Kann das sein oder liege ich komplett falsch?

09.05.2024, 11:45

IfindU

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RE: natürlicher Logarithmus
Die Logarithmusgesetze mit Gleichheit im Komplexen zu verwenden, führt zu widersprüchlichen Resultaten.

Das ganze sauber:
Die Frage wäre, wo $\begin{eqnarray*} \exp(a +ib ) = 1 \end{eqnarray*}$ gilt. Wie du erkannt ist, ist $\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$ . Nun ist $\begin{eqnarray*} \exp(a+ib) = \exp(ib) = \cos(b) + i \sin(b) \end{eqnarray*}$ . Damit muss $\begin{eqnarray*} \cos(b) = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin(b) = 0 \end{eqnarray*}$ sein. Das sind reelle Gleichungen. Aus $\begin{eqnarray*} \cos(b) = 1 \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} b \in B := \{ 2\pi \cdot n | n \in \mathbb Z \} \end{eqnarray*}$ . Da für alle $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \sin(b) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt, ist das deine gesuchte Menge. Insb. muss nicht $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ positiv sein und auch $\begin{eqnarray*} 0 \in B \end{eqnarray*}$ . Da ja $\begin{eqnarray*} \exp(0+i\cdot 0) = 1 \end{eqnarray*}$ ist.

09.05.2024, 11:56

HAL 9000

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Mitunter gibt es beim Symbol $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ die Vereinbarung, dass damit nur der Hauptwert des komplexen Logarithmus gemeint ist - schlicht, damit man Eindeutigkeit beim ansonsten mehrdeutigen komplexen Logarithmus hat, wenn man $\begin{eqnarray*} \ln\left(z\right) \end{eqnarray*}$ schreibt.

In dem Sinne ist dann eindeutig $\begin{eqnarray*} \ln\left(1\right)=0 \end{eqnarray*}$ - davon unbenommen ist $\begin{eqnarray*} e^{2\pi n i} = 1 \end{eqnarray*}$ für alle ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Die Beschränkung auf den Hauptwert hat zur Folge, dass die meisten Logarithmenregeln im Komplexen nicht mehr bzw. nur auf eingeschränktem Argumentbereich gelten. Sowas wie $\begin{eqnarray*} \ln(1) \stackrel{?}{=} \ln(-1) + \ln(-1) \end{eqnarray*}$ geht dann nicht mehr. unglücklich

09.05.2024, 16:51

log1

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Zitat:

Original von HAL 9000
Sowas wie $\begin{eqnarray*} \ln(1) \stackrel{?}{=} \ln(-1) + \ln(-1) \end{eqnarray*}$ geht dann nicht mehr. unglücklich

Schade sah so schön aus
Erstaulich ist aber,dass das scheinbare Ergebnis nämlich $\begin{eqnarray*} 2\pi i \end{eqnarray*}$ zur Lösung gehört

Zitat:

Original von IfindU
Aus $\begin{eqnarray*} \cos(b) = 1 \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} b \in B := \{ 2\pi \cdot n | n \in \mathbb Z \} \end{eqnarray*}$ .

Danke jedenfalls für die Klarstellung

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