Gleichung lösen mit Wurzel

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WURZ-Gleich Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung lösen mit Wurzel
Folgende Gleichung soll man lösen:

-x-2+sqrt(4-x) = 0

Meine Lösung:

sqrt(4-x)= x+2 |^2

4-x = x² +4x + 4

x²+5x = 0

x(x+5) = 0

x= 0 und x=-5

Wenn ich die Probe mahte stimmt es aber nicht.

Ich nehme mal an das hat was mit dem quadrieren der Wurzel zu tun. Wenn ich die LÖsung einsetze, stimmt es nur für den Fall, dass sqrt(4-x) ==> sqrt(4--5) = sqrt(9) = -3 ist. Bei +3 stimmt es nicht. Wie muss ich sowas notieren oder geht es gar nicht??
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung lösen mit Wurzel
Quadrieren ist KEINE Äquivalenzumformung.

Man muss das Ergebnis überprüfen. 0 ist die einzige Lösung.


Wurzel aus 9 ist nur 3, nicht -3.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Für ergibt die Probe . Das passt prima, denn , weil .
Für ergibt die Probe . Das passt auch, denn , weil .
Wenn man die Wurzel geeignet interpretiert, dann stimmt alles.
Wurz-gleich-2 Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, diese beiden Antworten sind gerade mein Dilemma.

Gibt es da jetzt ein eindeutiges richtig oder falsch einer der beiden Antworte oder haben Elvis und auditor irgendwie Recht?
nichteuerernst Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis
ist ganz schlimm falsch, genauso wie
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Beide Antworten sind richtig.
In der Schulmathematik behandelt man die (Quadrat-)Wurzel gerne als eindeutige Funktion von nichtnegativen reellen Zahlen in die nichtnegativen reellen Zahlen. Wenn die Wurzel so definiert wird, dann hat adiutor62 recht.
In der Algebra hat die (Quadrat-)Wurzel aus komplexen Zahlen ungleich 0 immer genau 2 verschiedene Werte, die Wurzel aus 0 ist eindeutig 0. Wenn die Wurzel so definiert wird, dann habe ich recht.
Wer die Wahl hat, hat die Qual. Wenn du als Antwort beide Antworten zusammen mit dieser Begründung gibst, muss dein Lehrer dich loben und darf eine Entscheidung treffen. Wer eine mehrdeutige Frage stellt kann keine eindeutige Antwort erwarten.
 
 
WURZ-Gleich-3 Auf diesen Beitrag antworten »

also bei Lösen von quadratischen Gleichung wird ja auch +/- die Wurzel genommen.

Ist das nicht dann das gleiche?


Oder z.B. bei

b=sqrt(-b+12)

b² = -b+12

b²+b-12 = 0

b1/2 = -0,5+/- sqrt (0,25 +12)

b1=3 und b2=-4


Wenn ich es einsetze gilt die Lösung bei -4, wenn man auch zulässt, dass -4*-4=16 ist
WURZ-Gleich-4 Auf diesen Beitrag antworten »

also ich meinte in der pq-Formel
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

So sehe ich das auch, aber die in der Schule vertretene Meinung ist auch nicht falsch. Man muss sich entscheiden, ob die Wurzel eine reelle Funktion ist oder nicht. Eine reelle Funktion muss einen eindeutigen Wert haben. Eine komplexe Funktion darf mehrdeutig sein. Fundamentalsatz der Algebra: Jede n-te Wurzel hat genau n Lösungen.
WURZ-GLeich-5 Auf diesen Beitrag antworten »

MMH,
aber das hört sich für die Schule schon recht kompliziert an
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du eine einfache und eindeutige Antwort willst, dann nimm die Antwort von adiutor62.
average1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wünscht man sich für die Gleichung für und via Substitution z²=4-x (und damit -x=z²-4) etwas Quadratisches unter der Wurzel, so entsteht



und für z>0 damit



was faktorisiert zu



führt und für z>0 die einzige Lösung z=2 bzw. x=0 liefert.



Für z<0 erhält man wegen



mit der passenden Faktorisierung



was für z<0 zur einzigen Lösung z=-2 bzw. ebenso x=0 führt.
average1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Meine Lösung:

sqrt(4-x)= x+2 |^2

4-x = x² +4x + 4

x²+5x = 0

x(x+5) = 0

x= 0 und x=-5


Wenn du dir bereits vorher an der rot markierten Stelle Gedanken darüber machst, welche reellen Zahlen hier für x überhaupt erlaubt sind, dann kann man wegen der linken Seite der Gleichung zu gelangen und aufgrund der rechten Seite der Gleichung auf schließen, was insgesamt zu führt und demnach x=-5 keine gültige Lösung sein kann.
WURZ-GLeich-6 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Average1
WURZ-Gleich7 Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit ist mir das jetzt total klar, warum (zumindest in der Schulmathematik) -5 als Lösung rausfällt.

(Also weil die Wurzel als positve reelle Zahl definiert ist, wäre es als Lösung in der LÖsungsmenge falsch)


Könntet ihr mir dennoch kurz erklären, warum man in der pq-Formel dann +/- die Wurzel nimmt?

Danke
WURZ-Gleich8 Auf diesen Beitrag antworten »

Und auch wenn die Gleichung x²=4 zu lösen ist. Gibt man ja in der Lösungsmenge {-2, 2}

Also ist mir ja klar, dass -2*-2 auch 4 ergibt. Aber warum ist das hier erlaubt das so anzugeben? Oder was verwechsele ich da jetzt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In der Schule unterscheidet man zwischen
1. der reellen Wurzelfunktion, bei der Radikand und Radikal 0 oder positiv reell sind und
2. der reellen quadratischen Gleichung, die keine, eine oder zwei beliebige reelle Lösungen hat.

Weil du in der Aufgabe von einer Gleichung und ihren Lösungen sprichst, meine ich immer noch, dass diese Gleichung 2 Lösungen hat. Das verträgt sich aber nicht mit der reellen Wurzelfunktion (1.), man muss dann akzeptieren, dass die Wurzeln auch negativ sein können, so wie man es immer bei quadratischen Gleichungen (2.) macht.
average1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Könntet ihr mir dennoch kurz erklären, warum man in der pq-Formel dann +/- die Wurzel nimmt?


Die pq-Formel liefert die Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form

Der Term auf der linken Seite dieser Gleichung wird durch eine passende quadratische Ergänzung zunächst zu umgeformt.

Mit Hilfe der 1. binomischen Formel entsteht somit

Falls gilt, dann spricht auch nichts dagegen eine Wurzel ins Spiel zu bringen und damit aus dem Subtrahenden ein Quadrat zu machen, was dann zu führt.

Mit und kommt man durch die 3. binomische Formel auf die Faktorisierung

Dieses Produkt wird genau dann zu Null, wenn einer der beiden Faktoren selbst zu Null wird.

Das "Plus-Minus" in der pq-Formel deutet also lediglich eine zusammenfassende Schreibweise der sich aus der obigen Faktorisierung ergebenden Lösungen an:





oder eben in nur einer Zeile für Faule




Zitat:
Und auch wenn die Gleichung x²=4 zu lösen ist.


Wenn man auf der linken und rechten Seite jeweils die (Quadrat-)Wurzel zieht, dann folgt und ausgerechnet auf der rechten Seite wird die Gleichung zu

Der Term auf der linken Seite ist jedoch nicht konstant (so wie der auf der rechten Seite) und genau da kommt die von mir oben schon einmal durchgeführte Fallunterscheidung ins Spiel:

Ist x entweder Null oder eine positive, reelle Zahl, dann gibt es keine Probleme und aus wird einfach x.
Ist x jedoch eine negative, reelle Zahl, dann wird aus eben nicht x sondern -x !

Denke dir für den 2. Fall mal als Beispiel x=-6
Dann wird aus x² eingesetzt ja (-6)² also 36.
Zieht man nun wiederum die Wurzel, so resultiert 6 und eben nicht die zu Beginn eigentlich benutzte -6.
Dieses "Vorzeichen-Problem" bekommt man dann aber durch ein Minuszeichen vor dem x in den Griff, denn
average1 Auf diesen Beitrag antworten »

Den letzten Teil also nochmal auf die Gleichung x² = 4 bezogen:

Durch das Wurzelziehen auf beiden Seiten entstehen zwei Fälle bzw. Gleichungen :

Für x=0 oder x>0 entsteht die Gleichung bzw. Lösung x = 4

Für x<0 entsteht die Gleichung -x = 4 und genau deshalb entsteht als zweite Lösung umgestellt x = -4
average1 Auf diesen Beitrag antworten »

Korrektur:

Zitat:
Den letzten Teil also nochmal auf die Gleichung x² = 4 bezogen:

Durch das Wurzelziehen auf beiden Seiten entstehen zwei Fälle bzw. Gleichungen :

Für x=0 oder x>0 entsteht die Gleichung bzw. Lösung x = 2

Für x<0 entsteht die Gleichung -x = 2 und genau deshalb entsteht als zweite Lösung umgestellt x = -2
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem kann man nicht einfach wegdiskutieren. Wenn die Wurzel immer positiv ist, dann hat nicht jede quadratische Gleichung zwei Lösungen.
Reelle Analysis und Algebra vertragen sich nicht, deshalb haben Euler und Gauß die komplexen Zahlen erfunden.
nichteuerernst Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn die Wurzel immer positiv ist,

ist sie nicht. Sie ist im Reellen positiv oder 0.

Zitat:
dann hat nicht jede quadratische Gleichung zwei Lösungen.

Hat sie sowieso nicht. Die Gleichung x²=0 hat nur eine Lösung, und die Gleichung x²=-3 hat (im Reellen) gar keine.

Die Gleichung x²=9 hat zwei Lösungen.
Die eine Lösung ist , die andere ist .
In beiden Fällen ist positiv.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe zuletzt "positiv" geschrieben, weil mir "nichtnegativ" allmählich zu umständlich geworden ist.
Fundamentalsatz der Algebra (Gauß um 1800) sagt, dass jede komplexe algebraische Gleichung n-ten Grades genau n komplexe Nullstellen hat, wenn man die Vielfachheiten mitzählt. (Ich will nicht immer wieder in aller Ausführlichkeit jede Kleinigkeit wiederholen.)

oder
Was du daraus machst, ist falsch.

Algebra: Wenn man eine Quadratwurzel aus 9 als reelle Zahl definiert, deren Quadrat 9 ergibt, dann sind 3 und -3 die beiden Quadratwurzeln aus 9. (Die Gleichung hat die beiden reellen Lösungen 3 und -3.)
Analysis: Wenn man die Quadratwurzel aus 9 als nichtnegative reelle Zahl definiert, deren Quadrat 9 ergibt, dann ist 3 die Quadratwurzel aus 9. (Die reelle Wurzelfunktion hat an der Stelle 9 den eindeutigen reellen Wert 3.)
nichteuerernst Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Was du daraus machst, ist falsch.

Ich wollte gerade nochmal detailliert darauf reagieren, verzichte aber lieber.
Die Perlen und die Säue...

Ich habe einfach nur zwei Hoffnungen:
1) Es gibt hier genügend kompetente Leute, die dich über deinen Irrtum (was die Wurzel im Reellen betrifft) aufklären könnten.
2) Dieses Forum ist besuchermäßig nicht so stark frequentiert, als dass du bei mitlesenden Schülern großen Schaden anrichten könntest.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Elvis

Ich pflichte nichteuerernst bei.

Es geht hier um reelle Analysis, nichts sonst. Warum du immer wieder auf die Höhere Algebra und die komplexen Zahlen verweist, verstehe ich nicht. Es trägt auf jeden Fall nicht zur Klärung, höchstens zur Verwirrung bei.

1. Die Wurzelfunktion ordnet jeder reellen Zahl diejenige reelle Zahl zu, für die ist. Damit ist die Wurzelfunktion als eindeutige Zuordnung definiert, wie sie den modernen Funktionsbegriff kennzeichnet.

2. Davon zu unterscheiden sind die Lösbarkeit und die Lösungen einer Gleichung. Diese sind abhängig von der zugrundeliegenden Menge. Legt man die Menge zugrunde, ist die Gleichung unlösbar. Dagegen besitzt die Gleichung die einzige Lösung 10. Über der Menge hat dagegen die Lösungen 10 und –10, während weiterhin unlösbar ist.

3. Im Kontext der reellen Zahlen geht man, oft stillschweigend, von der Menge als Grundmenge aus. Dann besitzt die Gleichung zwei irrationale Zahlen als Lösungen, deren Dezimalbrüche mit und beginnen. Die positive Lösung ist , die negative mit der Wurzelfunktion, wie in 1. beschrieben.

Und wie das mit komplexen Zahlen, Quaternionen oder Vedischer Mathematik ist, interessiert in diesem Zusammenhang niemanden.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Lösung(en) hat dann die Gleichung ? Warum ist x=-5 keine Lösung?
Weil und . So sei es.
WURZ-Gleich9 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte hier gar nicht so viel Unruhe stiften. Vielen Dank, dass ihr euch damit so ausfürhlich auseinander gesetzt habt.

Ich fasse also mal zusammen, der letzte Beitrag von Elvis ist dann für die Schulmathematik als richtig zu verstehen oder?
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