Algebra zuordnen

11.05.2024, 15:42	Broti	Auf diesen Beitrag antworten »
Algebra zuordnen Meine Frage: Aufgabe: Sagen sie welche der folgenden Systeme (1) E) ist die Borel?sche ?-Algebra B(R). (2) E) ist die Potenzmenge P(R). (3) E) ist eine andere ?-Algebra. Zum Zuordnen: (a) Ea := Die Menge aller abgeschlossenen Intervalle [x, x + 1] der Länge 1. (b) Eb := Die Menge aller rationalen Zahlen. (c) Ec := Die Menge aller abgeschlossen Intervalle der Form [x, (unendlich) ?). (d) Ed := Die Menge aller beschränkten Teilmengen von R. (e) Ee := Die Menge aller Nullstellen von stetigen Funktionen f : R ? R. Meine Ideen: Ansatz: Ich wäre jetzt auf das gekommen: die Borel?sche ?-Algebra ist c,e und b (Ist stetig, so sind auch Urbilder von Borelmengen wieder Borelmengen, insbesondere also auch Niveaumengen, Subniveaumengen und Superniveaumengen. deshalb hätte ich e jetzt da dazu geräumt) E) ist die Potenzmenge P(R) dem hätte ich jetzt b, d E) ist eine andere ?-Algebra hätte ich jetzt nur a zugewiesen Beweisen müssen wir das ganze nicht, wir sollen nur ein Gefühl dafür bekommen. Ich wüsste gerne ob ich komplett falsch liege oder ob ich schon einer Lösung nahe bin.(Bitte hilfe)
30.05.2024, 09:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum hat so lange keiner geantwortet? Vielleicht der misslungenen und dann nie korrigierten Symbolik wegen... Mit E) ist vermutlich die vom Mengensystem $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ erzeugte Sigma-Algebra $\begin{eqnarray} \sigma(E) \end{eqnarray}$ gemeint. Dann gehören $\begin{eqnarray} \sigma(E_a) = \sigma(E_c) = \mathbb{B}(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ zu (1) und $\begin{eqnarray} \sigma(E_d) = \wp(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ zu (2). (b) und (e) erfüllen die Voraussetzung nicht, dass diese $\begin{eqnarray} E_b,E_e \end{eqnarray}$ Mengen von Teilmengen einer Grundmenge $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ sein müssen: Denn das sind einfach nur selbst Teilmengen von $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ statt eine Menge solcher Teilmengen. Vielleicht ist es so gemeint, dass die rationalen Zahlen in (b) als einelementige Mengen aufzufassen sind, und in (e) dann vielleicht die Nullstellenmengen über alle stetigen Funktionen betrachtet dann das Mengensystem $\begin{eqnarray} E_e \end{eqnarray}$ bilden sollen? Steht aber leider nicht so da - wenn wir es trotzdem so annehmen, dann ergibt das $\begin{eqnarray} \sigma(E_e) = \mathbb{B}(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ , während $\begin{eqnarray} \sigma(E_b) \end{eqnarray}$ zu (3) gehört, das ist nämlich die Sigma-Algebra aller Mengen, die selbst oder deren Komplement Teilmenge der rationalen Zahlen ist.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »